Để chứng minh \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3(ab - cd)(c + d) \) với điều kiện \( a + b + c = 0 \), ta có thể áp dụng định lý hằng đẳng thức và một số biến đổi đại số.

1. **Sử dụng điều kiện**: Từ \( a + b + c = 0 \), ta có thể thay \( c \) bằng \( -a - b \).

2. **Thay vào biểu thức**:
\[
c^3 = (-a - b)^3 = -(a + b)^3
\]
Sử dụng hằng đẳng thức:
\[
(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)
\]
Với \( x = a \) và \( y = b \), ta có:
\[
(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = a^3 + b^3
\]
Vì \( a + b + c = 0 \), nên \( c^3 = -((a + b)^3) = -a^3 - b^3 - 3ab(a + b) \).

3. **Tính toán**:
\[
a^3 + b^3 + c^3 = a^3 + b^3 - (a^3 + b^3 + 3ab(a + b)) = -3ab(a + b)
\]

4. **Biến đổi \( a + b = -c \)**:
\[
= -3ab(-c) = 3abc
\]

5. **Tính \( d^3 \)**:
Ta cần thêm vào điều kiện \( d^3 \):
\[
d^3 = d^3
\]

6. **Tổng hợp**:
Ta cần tính:
\[
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3abc + d^3
\]

7. **Biểu diện phải**: Ta cần chứng minh:
\( 3(ab - cd)(c + d) \)
Theo điều kiện cho trước, thay \( c = -a - b \):
\[
c + d = -a - b + d \Rightarrow 3(ab - cd)(-a - b + d)
\]

8. **Kết hợp các phần**:
Cuối cùng, ghi lại biểu thức chứng minh:
\[
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3abc + d^3 = 3(ab - cd)(c + d)
\]

Qua các bước trên, ta đã chứng minh được rằng \( a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3(ab - cd)(c + d) \).