Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ sử dụng một số kiến thức hình học cơ bản.

### a) Chứng minh \( AE = BF \)

1. **Vẽ hình**: Gọi \( O \) là giao điểm của các tia \( Ox \) và \( Oy \), \( A \) trên tia \( Ox \), \( B \) trên tia \( Oy \) sao cho \( OA = OB \).
2. **Tính toán độ dài**:
- \( OA = OB = d \).
- Trong tam giác vuông \( OAE \) (với \( OE \perp Ox \)): \( AE \) là cạnh đối diện với góc \( AOE \).
- Trong tam giác vuông \( OBF \) (với \( OF \perp Oy \)): \( BF \) là cạnh đối diện với góc \( BOF \).
3. **Sử dụng tính đối xứng**: Khi \( OA = OB \) và \( OE \) và \( OF \) đều là đường cao:
- Do đó, hai tam giác \( OAE \) và \( OBF \) có chiều cao bằng nhau \( AE = BF \).

### b) Chứng minh \( \triangle AIF \cong \triangle BEI \)

1. **Cách chứng minh**: Ta có:
- \( AE = BF \) (đã chứng minh ở phần a).
- \( AI \) là đường nối các đỉnh từ \( A \) đến \( I \) và tương tự với \( BE \).
- Góc chung \( \angle AIE = \angle BIE \).

2. **Áp dụng tiêu chí đồng dạng** (SAS):
- Gọi các cạnh và góc tương ứng:
- \( AI = BI \): do điểm \( I \) là giao điểm.
- Hai góc \( \angle AIF \) và \( \angle BEI \) đều có độ lớn bằng nhau.
- Kết hợp trên, ta có \( \triangle AIF \cong \triangle BEI \).

### c) Chứng minh \( OI \) là tia phân giác của góc \( AOB \)

- **Góc \( AOB \)**: Gọi \( AO \) và \( BO \) tạo ra một góc tại \( O \).
- Đường thẳng \( OI \) chia góc \( AOB \) ra hai góc bằng nhau (do \( I \) là giao điểm của các đường vuông góc).
- Sử dụng định lý góc (đặc điểm của tia phân giác), ta có thể kết luận rằng phần chia này là chính xác.

Tóm lại:
- \( AE = BF \) được chứng minh dựa vào sự đối xứng về chiều cao và cạnh.
- Hai tam giác \( AIF \) và \( BEI \) là đồng dạng.
- Đường thẳng \( OI \) là tia phân giác của góc \( AOB \).

Chúc bạn học tốt!