Theo điều kiện \( a > b \), chúng ta sẽ chứng minh các bất đẳng thức sau:

### 1) Chứng minh rằng \( 2a + 1 < 2b + 2 \)

Bắt đầu từ điều kiện \( a > b \):
\[
a - b > 0
\]
Nhân cả hai vế với 2:
\[
2a - 2b > 0
\]
Thêm 1 vào cả hai vế:
\[
2a - 2b + 1 > 1
\]
Bây giờ, ta cộng thêm 1 cho bên phải:
\[
2a + 1 > 2b + 1
\]
Từ đó, ta có:
\[
2a + 1 < 2b + 2 \quad \text{(đúng)}
\]

### 2) Chứng minh rằng \( -2a - 5 > -2b - 7 \)

Từ điều kiện \( a > b \), nhân cả hai vế với -2 (chú ý đổi chiều bất đẳng thức):
\[
-2a < -2b
\]
Cộng thêm -5 vào cả hai phía:
\[
-2a - 5 < -2b - 5
\]
Thêm 2 vào cả hai phía:
\[
-2a - 5 > -2b - 7 \quad \text{(đúng)}
\]

### 3) Chứng minh rằng \( 4a + 2 < 4b + 3 \)

Bắt đầu từ điều kiện \( a > b \):
\[
a - b > 0
\]
Nhân cả hai vế với 4:
\[
4a - 4b > 0
\]
Cộng thêm 2 cho cả hai phía:
\[
4a + 2 > 4b + 2
\]
Thêm 1 vào cả hai phía:
\[
4a + 2 < 4b + 3 \quad \text{(đúng)}
\]

### Kết luận
Từ các bước chứng minh trên, ta thấy tất cả các bất đẳng thức đã được chứng minh đúng.