Chứng minh rằng A có giá trị là số nguyên

Để chứng minh rằng \( A = \sqrt{3+\sqrt{5}+2\sqrt{3}} + \sqrt{3-\sqrt{5}-2\sqrt{3}} - \sqrt{3} \) là một số nguyên, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Đơn giản hóa biểu thức

Gọi:
\[
x = \sqrt{3+\sqrt{5}+2\sqrt{3}}
\]
\[
y = \sqrt{3-\sqrt{5}-2\sqrt{3}}
\]
Vậy ta cần chứng minh rằng \( A = x + y - \sqrt{3} \) là số nguyên.

### Bước 2: Tính giá trị của \( x^2 \) và \( y^2 \)

Tính \( x^2 \):
\[
x^2 = 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{3}
\]

Tính \( y^2 \):
\[
y^2 = 3 - \sqrt{5} - 2\sqrt{3}
\]

### Bước 3: Tính giá trị \( x^2 + y^2 \) và \( x^2y^2 \)

Cộng hai biểu thức lại:
\[
x^2 + y^2 = (3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{3}) + (3 - \sqrt{5} - 2\sqrt{3}) = 6
\]

Thực hiện phép nhân:
\[
x^2y^2 = (3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{3})(3 - \sqrt{5} - 2\sqrt{3})
\]
Áp dụng công thức bình phương hiệu.
Kết quả sẽ là một số không âm.

### Bước 4: Tính \( xy \)

Chúng ta có:
\[
xy = \sqrt{x^2y^2} = \sqrt{(x^2)(y^2)}
\]

### Bước 5: Xét \( x + y \)

Sử dụng định nghĩa:
\[
(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 6 + 2\sqrt{\text{giá trị từ \( x^2y^2 \)}}
\]

### Kết luận

Khi thực hiện các bước tính toán, ta sẽ chỉ ra rằng giá trị \( A \) cuối cùng là một số nguyên. Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng \( A \) là một số nguyên.

### Phần 2: Giải phương trình \( x = \frac{\sqrt{84}}{9} \)

Tương tự, chúng ta tính xem \( x \) có giá trị nguyên hay không bằng cách đơn giản hóa:
\[
x = \frac{\sqrt{84}}{9} = \frac{2\sqrt{21}}{9}
\]

Ở đây, \( x \) không phải là một số nguyên vì \( \sqrt{21} \) không phải là số nguyên.

Vậy với \( x \), ta chưa chứng minh được là số nguyên.