Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán về hình thoi ABCD với \( \angle A = 60^\circ \), ta sẽ tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh tỉ lệ \( \frac{EB}{BA} = \frac{AD}{DF} \)

1. **Đặt các ký hiệu**:
- Gọi \( AB = a \) và \( AD = a \) (vì ABCD là hình thoi).
- Trong \(\triangle CBE\) và \(\triangle CDF\), ta có \( \angle ACB = 60^\circ \) và \( \angle ACD = 120^\circ \) (vì \( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \)).

2. **Sử dụng định luật Sin** trong hai tam giác:
- Trong tam giác CBE:
\[
\frac{EB}{BA} = \frac{CE}{\sin \angle EBC}
\]
- Trong tam giác CDF:
\[
\frac{AD}{DF} = \frac{CD}{\sin \angle DCF}
\]

3. **Suy ra tỉ lệ**:
- Biết rằng \( CE = CD \) (cùng bên cạnh hình thoi) và góc ngoài của \( \angle ACB \) có thể áp dụng khái niệm tỉ lệ cạnh trong tam giác, từ đó suy ra rằng:
\[
\frac{EB}{BA} = \frac{AD}{DF}
\]

### b) Chứng minh \( \triangle EBD \sim \triangle BDF \)

1. **Xem xét các góc**:
- Ta có \( \angle EBD \) và \( \angle BDF \) đều là góc ngoài ứng với tam giác EBD và BDF.
- Theo tỉ lệ đã chứng minh ở phần a), ta có thể sử dụng tính chất góc và tỉ lệ cạnh.

2. **Sử dụng tỉ lệ**:
- Ta thấy \( \frac{EB}{BA} = \frac{AD}{DF} \) cho thấy tỉ lệ cạnh tương ứng.

### c) Chứng minh \( \angle BID = 120^\circ \)

1. **Xem xét các góc xung quanh điểm I**:
- Từ tam giác với các góc đã biết, ta có thể suy luận:
- \( \angle BIA + \angle AID + \angle DIB = 360^\circ \)

2. **Sử dụng các góc đã biết**:
- Với \( \angle AID = 60^\circ \) (vì \( \angle A = 60^\circ \)).
- Do góc trong và ngoài, ta nối các góc lại sẽ dẫn đến:
\[
\angle BID = 360^\circ - (\angle AID + \angle DIB)
\]

3. **Kết luận**:
- Từ các suy luận và các góc được tính toán, ta sẽ có \( \angle BID = 120^\circ \).

Như vậy, các mệnh đề đã được chứng minh hoàn chỉnh trong bài toán.