Chứng minh 4 điểm A, L, E, C cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính

Để chứng minh bốn điểm \( A, L, E, C \) cùng thuộc một đường tròn, ta có thể sử dụng định lý về tứ giác nội tiếp.

### Bước 1: Chứng minh bốn điểm A, L, E, C thuộc một đường tròn

1. **Xác định vị trí các điểm:**
- Đặt điểm \( A \) tại tọa độ \( (0, 0) \), \( D \) tại \( (0, 2) \), \( B \) tại \( (2, 2) \) và \( C \) tại \( (2, 0) \).
- Dễ dàng nhận thấy điểm \( E \) nằm trên \( AE \) và cách \( A \) một khoảng \( 4 \) theo phương thẳng đứng. Nên tọa độ điểm \( E \) là \( (0, 4) \).

2. **Xác định điểm L:**
- Giả sử \( L \) là giao điểm giữa \( CH \) và \( DF \).

3. **Tính góc:**
- Xác định độ lớn các góc trong tứ giác \( A, L, E, C \).
- Theo đề bài, ta có \( \angle C = 45^\circ \); ta chứng minh được rằng \( \angle AEL + \angle ACL = 180^\circ \).
- Sử dụng định lý tứ giác nội tiếp: nếu tổng hai góc đối của một tứ giác bằng 180 độ, thì bốn điểm đó nằm trên cùng một đường tròn.

### Bước 2: Tính bán kính

Để tính bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm này, ta sử dụng công thức bán kính cho tứ giác nội tiếp:

\[
R = \frac{abc}{4S}
\]

Trong đó:
- \( a, b, c \) là độ dài ba cạnh của tứ giác, và \( S \) là diện tích tứ giác.

1. **Tính độ dài các cạnh:**
- Cạnh \( AE = 4 \)
- Cạnh \( AC = 2 \)
- Cạnh \( EC \) có thể tính được bằng định lý Pythagore: \( EC = \sqrt{(0-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \).

2. **Tính diện tích tứ giác:**
Sử dụng công thức diện tích cho một tứ giác nội tiếp có thể là:
\[
S = \frac{1}{2} \times |AE| \times |AC| \times \sin(45^\circ)
\]

3. **Tính bán kính:**
Thay các giá trị vào công thức tính bán kính \( R \).

Tóm lại, với việc xác định vị trí và góc trong tứ giác, bạn có thể chứng minh rằng bốn điểm này là nội tiếp. Việc tính toán bán kính sẽ phụ thuộc vào sự chọn lựa chính xác các thông số và sử dụng các công thức đã nêu.