Để chứng minh rằng tứ giác \( AMDN \) là hình bình hành, ta sẽ chỉ ra rằng \( AM \) song song với \( DN \) và \( AN \) song song với \( DM \).

1. **Các tam giác đều**:
- Tam giác \( ABM \) là tam giác đều với cạnh \( AB \), nên \( \angle ABM = 60^\circ \).
- Tam giác \( ACN \) cũng là tam giác đều với cạnh \( AC \), vì vậy \( \angle ACN = 60^\circ \).
- Tam giác \( DBC \) là tam giác đều với cạnh \( BC \), do đó \( \angle DBC = 60^\circ \).

2. **Xét góc \( AMB \)**:
- Vì \( ABM \) là tam giác đều nên \( \angle AMB = 60^\circ \).

3. **Xét góc \( ANB \)**:
- Tương tự như vậy, \( \angle ANC = 60^\circ \) vì \( ACN \) cũng là tam giác đều.

4. **Xét góc \( DMN \)**:
- Ta có \( \angle DBC = 60^\circ \) và \( \angle ABC \) là góc trong của tam giác \( ABC \). Vì vậy, góc bên ngoài \( \angle DBC \) (cùng nửa mặt phẳng với \( BC \) chứa \( D \)) sẽ là \( \angle DAB = \angle ABC + 60^\circ \).

5. **Tổng quan**:
- Ta nhận thấy rằng \( AM \) và \( DN \) tạo thành một hệ thống với các tam giác đều nên:
- \( \angle AMB + \angle DBC + \angle ANC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \) (điều này cho thấy \( AM \) và \( DN \) nằm trên các đường thẳng song song vì chúng tạo thành góc đối diện bù nhau).

6. **Kết luận**:
- Tứ giác \( AMDN \) có các cặp cạnh đối diện \( AM \) và \( DN \) song song, và \( AN \) và \( DM \) cũng song song.
- Do đó, tứ giác \( AMDN \) là hình bình hành.

Vậy, ta đã chứng minh rằng tứ giác \( AMDN \) là hình bình hành.