Để tìm số tự nhiên \( x \) thỏa mãn điều kiện \( 126 : x = 210 : x \) và \( 14 < x < 31 \), ta làm như sau:

1. **Giải phương trình**:
Từ điều kiện \( 126 : x = 210 : x \), suy ra \( 126 x = 210 x \).
Điều này không có nghĩa gì, nhưng có thể hiểu rằng \( x \) phải là ước số chung của 126 và 210.

2. **Tìm ước số của 126 và 210**:
- Phân tích số nguyên tố:
- \( 126 = 2 \times 3^2 \times 7 \)
- \( 210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \)

- Ước số chung lớn nhất (USCLN) là \( 42 \).

3. **Tìm các ước số của 126 và 210 trong khoảng điều kiện**:
- Các ước số của 126: \( 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126 \)
- Các ước số của 210: \( 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210 \)

Các ước chung tồn tại là: \( 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 \)

4. **Lọc ra các số trong khoảng \( 14 < x < 31 \)**:
- Trong danh sách các ước số chung, chỉ có \( 21 \) thỏa mãn \( 14 < x < 31 \).

Vậy số tự nhiên \( x \) cần tìm là \( \boxed{21} \).