Chứng minh tồn tại số nguyên tố có dạng 6k + 5

Để chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố có dạng \( 6k + 5 \), ta có thể sử dụng nguyên lý vô hạn số nguyên tố.

Trước tiên, ta sẽ liệt kê các số nguyên dư khi chia cho 6. Số nguyên bất kỳ \( n \) sẽ có một trong các dạng sau khi chia cho 6:

- \( n \equiv 0 \mod 6 \)
- \( n \equiv 1 \mod 6 \)
- \( n \equiv 2 \mod 6 \)
- \( n \equiv 3 \mod 6 \)
- \( n \equiv 4 \mod 6 \)
- \( n \equiv 5 \mod 6 \)

Chúng ta sẽ loại bỏ các trường hợp mà không thể là số nguyên tố:

1. \( n \equiv 0 \mod 6 \): Không thể là nguyên tố vì nó chia hết cho 6.
2. \( n \equiv 2 \mod 6 \): Không thể là nguyên tố (trừ số 2) vì nó chia hết cho 2.
3. \( n \equiv 3 \mod 6 \): Không thể là nguyên tố (trừ số 3) vì nó chia hết cho 3.
4. \( n \equiv 4 \mod 6 \): Không thể là nguyên tố vì nó chia hết cho 2.

Chỉ còn lại hai dạng có thể là số nguyên tố là:
- \( n \equiv 1 \mod 6 \)
- \( n \equiv 5 \mod 6 \)

Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố với dạng \( 6k + 5 \).

### Bước 1: Sử dụng một số nguyên tố đã biết

Chúng ta có thể sử dụng một số nguyên tố đầu tiên để thực hiện chứng minh. Dễ thấy rằng số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, ... trong đó ta thấy có các số \( 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, ... \) có dạng \( 6k + 5 \).

### Bước 2: Tìm số nguyên tố có dạng \( 6k + 5 \)

Một số ví dụ nhanh sẽ giúp chúng ta thấy rằng có rất nhiều số nguyên tố có dạng \( 6k + 5 \). Chẳng hạn:

- \( 5 = 6 \cdot 0 + 5 \)
- \( 11 = 6 \cdot 1 + 5 \)
- \( 17 = 6 \cdot 2 + 5 \)
- \( 23 = 6 \cdot 3 + 5 \)
- \( 29 = 6 \cdot 4 + 5 \)
- \( 41 = 6 \cdot 6 + 5 \)
- ...

Tất cả các số này đều là số nguyên tố và có dạng \( 6k + 5 \).

### Kết luận

Tồn tại vô hạn số nguyên tố có dạng \( 6k + 5 \). Do đó, ta đã chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố có dạng \( 6k + 5 \).