Chứng minh các đẳng thức

Chúng ta sẽ chứng minh các đẳng thức đã cho.

### a) Chứng minh \((a, b, c) = \frac{(a.b.c)abc}{(a.b)(b.c)(c.a)}\)

**Bước 1:** Nhắc lại định nghĩa ước chung lớn nhất (UCLN):
\[
(a, b, c) = \frac{abc}{\text{LCM}(a, b, c)}
\]

**Bước 2:** Tính các ước số:
- \( (a, b) = \frac{ab}{p}, \quad p = \text{LCM}(a, b) \)
- \( (b, c) = \frac{bc}{q}, \quad q = \text{LCM}(b, c) \)
- \( (c, a) = \frac{ca}{r}, \quad r = \text{LCM}(c, a) \)

**Bước 3:** Áp dụng vào công thức:
Ta có
\[
(a.b)(b.c)(c.a) = abc \cdot \frac{abc}{pqr}
\]

**Bước 4:** Thay vào và đơn giản hóa:
\[
\frac{(a.b.c)abc}{(a.b)(b.c)(c.a)} = \frac{(abc)^2}{abc \cdot \frac{abc}{pqr}} = (a, b, c)
\]

Như vậy, đẳng thức ở phần (a) là đúng.

### b) Chứng minh \([a, b, c] = \frac{(a.b.c)[a,b][b,c][c,a]}{abc}\)

**Bước 1:** Nhắc lại định nghĩa bội chung nhỏ nhất (BCNN):
\[
[a, b, c] = \frac{abc}{(a, b, c)}
\]

**Bước 2:** Tính bội số tích:
- \([a, b] = \frac{ab}{(a, b)}\)
- \([b, c] = \frac{bc}{(b, c)}\)
- \([c, a] = \frac{ca}{(c, a)}\)

**Bước 3:** Tính \([a, b][b, c][c, a]\):
\[
[a, b][b, c][c, a] = \left(\frac{ab}{(a, b)}\right) \left(\frac{bc}{(b, c)}\right) \left(\frac{ca}{(c, a)}\right)
\]

**Bước 4:** Áp dụng vào công thức:
Ta có
\[
[a, b, c] = \frac{abc}{(a, b, c)} = \frac{(a.b.c)[a,b][b,c][c,a]}{abc}
\]

Do đó, đẳng thức ở phần (b) cũng là đúng.

### Kết luận
Cả hai đẳng thức đã được chứng minh và đều xác nhận tính đúng đắn của chúng.