Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh MK là đường kính của đường tròn (O)

Giả sử tam giác MNP là tam giác cân tại M, tức là MN = MP. Gọi H là chân đường cao từ M xuống cạnh NP.

Từ tính chất của tam giác cân, ta có:
- Đường cao MH sẽ cắt đường tròn tại điểm K, do đó K là điểm đối xứng của H qua O.
- Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp, do đó OH = OM.

Vậy, MH và MK là hai đoạn thẳng đối xứng qua O nên MK là đường kính của đường tròn.

### b) Tính số đo của \( \angle MPK \)

Ta cần sử dụng tính chất của đường tròn và các tam giác tương ứng.

Do MK là đường kính (theo phần a), nên góc MPK sẽ là góc nội tiếp chắn đoạn thẳng MK, vì vậy:
\[
\angle MPK = 90^\circ
\]

### c) Tính MK và bán kính của đường tròn (O)

1. **Tính MK**:
- Trong tam giác MNP, ta có: \( NP = 24 \, cm \) và \( MP = 20 \, cm \).
- Từ tính chất của tam giác cân, cạnh MN cũng sẽ bằng 20 cm.
- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác MHP, với MH là đường cao:
\[
MH^2 + HP^2 = MP^2
\]
Nếu tính HP, ta có HP = \(\frac{NP}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, cm\).

Thay số vào công thức:
\[
MH^2 + 12^2 = 20^2 \Rightarrow MH^2 + 144 = 400 \Rightarrow MH^2 = 256 \Rightarrow MH = 16 \, cm
\]

Bây giờ sử dụng tính chất của đường tròn:
\[
MK = 2 \times MH = 2 \times 16 = 32 \, cm
\]

2. **Tính bán kính của đường tròn (O)**:
- Bán kính R có thể được tính từ tâm O đến M, tức là:
\[
R = OM = \sqrt{MH^2 + OH^2}
\]
Ở đây, OH là cạnh của tam giác đều tại O, ta có thể suy ra từ các kích thước đã tính.

Giả sử OH tính bằng \( r \), theo công thức bán kính:
\[
R = \sqrt{16^2 + r^2}
\]

Tóm lại, ta đã có:
- \( MK = 32 \,cm \)
- Bán kính \( R \) cần biết thêm thông tin cụ thể về OH để tính.

Nếu bạn cần thêm trợ giúp cụ thể cho từng phần hoặc các công thức tính khác, hãy cho tôi biết!