Cho hình bình hành ABCD, E, F lần lược là trung điểm của AB, CD. a) C/m tứ giác AFCD là hình bình hành 

Để chứng minh các phần yêu cầu trong đề bài, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác AFCD là hình bình hành

Gọi các điểm góc của hình bình hành ABCD như sau:
- \( A(x_1, y_1) \)
- \( B(x_2, y_2) \)
- \( C(x_3, y_3) \)
- \( D(x_4, y_4) \)

Vì ABCD là hình bình hành, ta có:
- \( AB \parallel CD \)
- \( AD \parallel BC \)

Điểm E là trung điểm của AB, nên tọa độ của E là:
\[
E = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
\]

Điểm F là trung điểm của CD, nên tọa độ của F là:
\[
F = \left(\frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2}\right)
\]

Để chứng minh AFCD là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện có phương cùng với nhau.

1. Tính vector \( \vec{AF} \) và \( \vec{CD} \):
\[
\vec{AF} = F - A = \left( \frac{x_3 + x_4}{2} - x_1, \frac{y_3 + y_4}{2} - y_1 \right)
\]
\[
\vec{CD} = D - C = \left( x_4 - x_3, y_4 - y_3 \right)
\]

2. Chứng minh hai vector \( \vec{AF} \) và \( \vec{CD} \) song song (cùng phương):
Bởi vì ABCD là hình bình hành, ta có \( AB \parallel CD \) nghĩa là \( AD \parallel BC \). Do đó, \( \vec{AF} \) và \( \vec{CD} \) cũng sẽ song song.

3. Tính vector \( \vec{AC} \) và \( \vec{DF} \):
\[
\vec{AC} = C - A
\]
\[
\vec{DF} = F - D
\]

4. Chứng minh hai vector \( \vec{AC} \) và \( \vec{DF} \) song song (cùng phương):
Tương tự như trước, từ tính chất của hình bình hành, ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \) dẫn đến \( \vec{AC} \parallel \vec{DF} \).

Do đó, tứ giác AFCD là hình bình hành.

### b) Đặt O là trung điểm của BD

Khi O là trung điểm của BD, tọa độ O được tính giống như sau:
\[
O = \left( \frac{x_2 + x_4}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2} \right)
\]

### c) Tứ giác AEKI

Để trả lời câu hỏi tứ giác AEKI là hình gì, ta cần xác định tính song song giữa các cặp cạnh của tứ giác.

- **AE và KI**
- **EK và AI**

Từ trước chúng ta đã chứng minh AFCD là hình bình hành. Do đó, nếu AF || CD và với việc O là trung điểm của BD, từ đó ta cũng có thể suy ra rằng AE || KI và EK || AI.

1. \( AE \parallel KI \).
2. \( EK \parallel AI \).

Do đó, tứ giác AEKI là hình thang vuông.

### Kết luận
- Tứ giác AFCD là hình bình hành.
- Tứ giác AEKI là hình thang vuông.

Các kết luận trên được dựa trên tính chất hình học của hình bình hành và trung điểm.