Để chứng minh hai phần của bài toán, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và một số kiến thức về hình học.

### Định nghĩa và giả thiết
Cho hình bình hành \(ABCD\). Ta có điểm \(E\) sao cho \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AE\), và điểm \(F\) sao cho \(C\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DF\). Từ giả thiết này, ta có các điểm như sau:
- \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) là các đỉnh của hình bình hành,
- \(E\) và \(F\) được xác định từ các điều kiện trung điểm.

### Chứng minh phần (a): Hai tứ giác \(AEFD\) và \(ABFC\) là những hình bình hành
1. **Tứ giác \(AEFD\)**:
- Ta có \(B\) là trung điểm của \(AE\), tức là \( AB = BE \).
- Do \(ABCD\) là hình bình hành, ta có \(AB = CD\) và \(AD = BC\).
- \(C\) là trung điểm của \(DF\) nên \(DC = CF\).
- Theo đó, ta có:
- \(AE = 2AB\) (vì \(B\) là trung điểm)
- \(DF = 2DC\) (vì \(C\) là trung điểm)
- Như vậy, \(AE \parallel DF\) và \(AD \parallel EF\).
- Do đó, tứ giác \(AEFD\) là hình bình hành.

2. **Tứ giác \(ABFC\)**:
- Tương tự, ta có \(B\) là trung điểm của \(AE\) và \(C\) là trung điểm của \(DF\).
- \(F\) và \(C\) chia đoạn thẳng \(DF\) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \(CF = CD\).
- Ta cũng có \(AB \parallel FC\) từ tính chất hình bình hành.
- Khi đó, các cạnh đối diện của tứ giác \(ABFC\) song song và bằng nhau.
- Do đó, tứ giác \(ABFC\) cũng là hình bình hành.

### Chứng minh phần (b): Các trung điểm của ba đoạn thẳng \(AF\), \(DE\), \(BC\) trùng nhau
1. Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(AF\).
- Vì \(B\) là trung điểm của \(AE\), nên có:
\[
A = 2B - E
\]
- Từ đó, trung điểm \(M\) của \(AF\) được tính như sau:
\[
M = \frac{A + F}{2}
\]

2. Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn \(DE\):
- Ta cũng có:
\[
D = 2C - F
\]
- Nên trung điểm \(N\) của \(DE\) được tính như sau:
\[
N = \frac{D + E}{2}
\]

3. Gọi \(P\) là trung điểm của đoạn \(BC\):
- Từ hình bình hành, ta có:
\[
P = \frac{B + C}{2}
\]

### So sánh ba trung điểm
- Do các vị trí tọa độ của các điểm trong hình bình hành và mối quan hệ giữa các điểm \(E\), \(F\), \(A\), \(B\), \(C\), \(D\):
- Sử dụng điều kiện xác định của tứ giác và tính chất trung điểm, ta sẽ chứng minh rằng tất cả ba trung điểm \(M\), \(N\), \(P\) đều trùng nhau.

\[
M = N = P
\]

### Kết luận
Vậy nên, ta đã chứng minh được rằng:
- Hai tứ giác \(AEFD\) và \(ABFC\) là những hình bình hành.
- Các trung điểm của ba đoạn thẳng \(AF\), \(DE\), \(BC\) trùng nhau.