Để chứng minh các kết quả đã nêu, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành.

### Giả thiết:
Cho hình bình hành ABCD. Ta gọi điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh CD sao cho \( AM = CN \).

### Cần chứng minh:
a) \( AN = CM \)

b) \( \angle AMC = \angle ANC \)

### Chứng minh:
**Phần a: Chứng minh \( AN = CM \)**

1. Trong hình bình hành ABCD, ta có các cặp cạnh đối diện bằng nhau:
- \( AB = CD \)
- \( AD = BC \)

2. Vì M thuộc cạnh AB và N thuộc cạnh CD, ta có:
- \( AN = AB - AM \)
- \( CM = CD - CN \)

3. Do điều kiện đã cho, \( AM = CN \), nên ta có:
\[
AM + CN = CN + CN = 2CN
\]
Hay biểu diễn lại:
\[
AN = AB - AM \quad \text{và} \quad CM = CD - CN.
\]
Từ định nghĩa hình bình hành, ta có \( AB = CD \), do đó:
\[
CM = CD - CN = AB - CN = AB - AM = AN
\]
Vậy \( AN = CM \).

**Phần b: Chứng minh \( \angle AMC = \angle ANC \)**

1. Ta sẽ sử dụng tính chất của hai tam giác AMC và ANC.

2. Đặt:
- \( AM = CN \) (giả thiết đã cho)
- \( AN = CM \) (đã chứng minh ở phần a)
- \( AC \) là đường chéo của hình bình hành.

3. Trong tam giác AMC và tam giác ANC, các cặp cạnh tương ứng có:
- \( AM = CN \) (giả thiết)
- \( AN = CM \) (đã chứng minh)

4. Chúng ta có cùng một cạnh chung \( AC \).

5. Do đó, theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (CCS), ta có:
\[
\triangle AMC \cong \triangle ANC
\]

6. Từ hai tam giác này đồng dạng, suy ra:
\[
\angle AMC = \angle ANC
\]

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được:
- a) \( AN = CM \)
- b) \( \angle AMC = \angle ANC \)

Do đó, yêu cầu bài toán đã được chứng minh.