Để chứng minh các mệnh đề trong hình bình hành \(ABCD\) với các điểm \(K\) và \(I\) là trung điểm của \(AI\), \(CK\) và \(BD\), chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng mệnh đề.

### 1. Chứng minh \(AI \parallel CK\)

Trong hình bình hành \(ABCD\), ta có:
- Tính chất của hình bình hành cho ta \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\).
- K là trung điểm của đoạn AI, tức là \(AK = KI\).
- I là trung điểm của \(CK\), tức là \(CI = IK\).

Ta biết rằng trong một hình bình hành, các đoạn nối giữa các điểm cùng cạnh cũng sẽ song song với các cạnh đối diện. Xét tam giác \(AKI\) và \(CKI\), theo định nghĩa trung điểm, \(AK = KI\) và \(CI = IK\) do \(I\) là trung điểm \(CK\).

Suy ra rằng:
\[
AI // CK
\]

### 2. Chứng minh tứ giác \(AKID\) là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác \(AKID\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng:
\[
AK \parallel ID \quad \text{và} \quad KI \parallel AD
\]

Dễ dàng thấy rằng:
- Từ \(AI \parallel CK\) vừa chứng minh được, và với \(K\) là trung điểm của \(AI\) thì \(AK\) sẽ song song với \(ID\).
- Xét đoạn \(BD\) có \(I\) là trung điểm, nên suy ra \(KI \parallel AD\).

Do đó, tứ giác \(AKID\) thoả mãn điều kiện của một hình bình hành, tức là:
\[
AKID \text{ là hình bình hành}
\]

### 3. Chứng minh \(DM = BN\)

Giả sử \(M\) và \(N\) là trung điểm của đoạn \(AD\) và \(BC\) tương ứng trong hình bình hành \(ABCD\).

Ta xét:
- \(D\) là đỉnh đối diện với \(B\), và \(M\) là trung điểm đoạn \(AD\).
- Đồng thời, \(N\) là trung điểm đoạn \(BC\).

Trong một hình bình hành, hai đoạn nối từ các đỉnh đối diện có cùng độ dài. Do đó, suy ra:
\[
DM = BN
\]

### Kết luận
Từ các chứng minh trên, ta có:
a) \(AI \parallel CK\)

b) Tứ giác \(AKID\) là hình bình hành.

c) \(DM = BN\).

Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp ích cho bạn. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào khác, hãy cho tôi biết!