Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ở ngoài hình bình hành các hình vuông có cạnh theo thứ tự là AB, BC, CD, DA có tâm đối xứng là E, F, G, H. Chứng minh rằng ΔHAE = ΔFBE

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta thực hiện theo từng phần.

### Phần a: Chứng minh tam giác HAE = tam giác FBE

1. **Cơ sở hình học:**
- Gọi các điểm của hình bình hành ABCD như sau:
- A(x1, y1)
- B(x2, y2)
- C(x3, y3)
- D(x4, y4)
- Do ABCD là hình bình hành nên: \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\).

2. **Tính chất hình vuông:**
- Hình vuông có các cạnh AB, BC, CD, DA được vẽ ngoài hình bình hành.
- Tâm hình vuông E nằm trên đường trung trực của cạnh AB và vuông góc với cạnh AB.
- Tương tự cho các điểm F, G, H.

3. **Chứng minh rằng HAE, FBE là các tam giác đồng dạng:**
- Ta có:
- \(HA = EB\) (vì là cạnh của hình vuông)
- \(AE = BF\) (vì là cạnh của hình vuông)
- Góc ở điểm H và góc ở điểm F đều bằng \(90^\circ\) (góc vuông từ hình vuông).
- Từ đó, ta có thể suy ra rằng tam giác HAE và tam giác FBE có các cạnh tương ứng bằng nhau và có góc bằng nhau.

4. **Kết luận:**
- Do đó, ΔHAE = ΔFBE (có 2 cạnh và 1 góc giữa bằng nhau) => Các tam giác vừa chứng minh là bằng nhau.

### Phần b: Chứng minh EFGH là hình vuông

1. **Cơ sở phân tích:**
- Dễ dàng thấy rằng các cạnh của hình vuông EFGH đều có độ dài bằng nhau: \(EF = FG = GH = HE\).
- Các hình vuông được vẽ nên có tất cả các góc đều là góc vuông (90 độ).

2. **Kiểm tra tính vuông:**
- Để chứng minh EFGH là hình vuông, ta cần khẳng định rằng tất cả các cạnh của EFGH bằng nhau và các góc E, F, G, H là góc vuông.
- Từ trên ta biết các dòng nối giữa các tâm hình vuông (EF, FG, GH, HE) đều bằng nhau vì là cạnh của hình vuông.

3. **Kết luận:**
- Do có 4 cạnh bằng nhau và góc đều 90 độ, ta khẳng định rằng EFGH là hình vuông.

### Tổng kết
- Ta đã chứng minh được rằng ΔHAE = ΔFBE và EFGH là hình vuông.