Để giải bài toán này, trước tiên, ta đặt các ký hiệu cho các góc mà ta muốn tính:

1. Gọi góc \( xOy = \alpha \).
2. Gọi góc \( zOy = \beta \).
3. Theo đề bài, ta có:
\[
\alpha = \frac{2}{3} \beta
\]

Vì ta đang làm việc với hai góc có liên quan đến nhau, ta cũng cần tìm kiếm thêm thông tin từ hình học liên kết.

### a. Tính \( zOx \) và \( zOy \)

Góc \( zOx \) và \( zOy \) là những góc được tạo ra từ tia phân giác của góc \( xOz \) và \( yOz \):

- Tia phân giác của góc \( zOx \) sẽ là \( On \).
- Tia phân giác của góc \( zOy \) sẽ là \( Om \).

Giả sử:
- \( zOx = x \)
- \( zOy = y \)

Vì tia phân giác chia góc thành hai phần bằng nhau, ta có:
\[
zOx = \alpha + \frac{\beta}{2} \quad và \quad zOy = \frac{\alpha}{2} + \beta
\]

Từ \( \alpha = \frac{2}{3} \beta \), ta có:
- Thay giá trị \( \alpha \) vào \( zOx \) và \( zOy \).

Xong, ta có thể tính được các góc \( zOx \) và \( zOy \).

### b. Kiểm tra \( \angle ZOm \) và \( \angle ZOn \) có là hai góc kề nhau không phụ nhau không?

Các góc \( \angle ZOm \) và \( \angle ZOn \) là hai góc kề nhau nếu như chúng chia sẻ một cạnh chung, tức là tia \( Oz \) trong trường hợp này.

Để xem chúng có phụ nhau hay không, ta có thể kiểm tra tổng của chúng:
\[
\angle ZOn + \angle ZOm = zOx + zOy
\]
Nếu tổng này bằng 180 độ, thì chúng là hai góc phụ nhau.

### Kết luận

Để có những giá trị cụ thể cho \( zOx \), \( zOy \) và kết luận cuối cùng, bạn cần thực hiện một số tính toán với những dữ liệu ban đầu và áp dụng quá trình như trên.

Nếu bạn có thêm dữ liệu ban đầu cụ thể về trị số của các góc, xin hãy cung cấp để tôi có thể làm rõ hơn.