Tìm m, n thuộc N biết 2^m - 2^n = 256

Để giải phương trình \( 2^m - 2^n = 256 \) với \( m, n \in \mathbb{N} \), ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
2^n (2^{m-n} - 1) = 256
\]

Vì \( 256 = 2^8 \), ta có:

\[
2^n (2^{m-n} - 1) = 2^8
\]

Từ đó, \( 2^n \) và \( 2^{m-n} - 1 \) phải là các số hạng mà tích của chúng bằng \( 2^8 \). Có thể phân tích thành:

\[
2^n = 2^k \quad \text{với } k \leq 8
\]
\[
2^{m-n} - 1 = 2^{8-k}
\]

Suy ra, \( n = k \) và:

\[
2^{m-n} = 2^{8-k} + 1
\]

Từ đó, ta tính \( m-n \):

\[
m - n = \log_2 (2^{8-k} + 1)
\]

Bây giờ ta thử các giá trị của \( k \) từ \( 0 \) đến \( 8 \):

1. **Nếu \( k = 0 \):**
\[
n = 0, \quad 2^{8-0} + 1 = 256 + 1 = 257 \Rightarrow m - 0 = 8 \Rightarrow m = 8
\]
Cặp \( (m, n) = (8, 0) \)

2. **Nếu \( k = 1 \):**
\[
n = 1, \quad 2^{8-1} + 1 = 128 + 1 = 129 \Rightarrow m - 1 = 7
\Rightarrow m = 8
\]
Cặp \( (m, n) = (8, 1) \)

3. **Nếu \( k = 2 \):**
\[
n = 2, \quad 2^{8-2} + 1 = 64 + 1 = 65 \Rightarrow m - 2 = 6
\Rightarrow m = 8
\]
Cặp \( (m, n) = (8, 2) \)

4. **Nếu \( k = 3 \):**
\[
n = 3, \quad 2^{8-3} + 1 = 32 + 1 = 33 \Rightarrow m - 3 = 5
\Rightarrow m = 8
\]
Cặp \( (m, n) = (8, 3) \)

5. **Nếu \( k = 4 \):**
\[
n = 4, \quad 2^{8-4} + 1 = 16 + 1 = 17 \Rightarrow m - 4 = 4
\Rightarrow m = 8
\]
Cặp \( (m, n) = (8, 4) \)

6. **Nếu \( k = 5 \):**
\[
n = 5, \quad 2^{8-5} + 1 = 8 + 1 = 9 \Rightarrow m - 5 = 3
\Rightarrow m = 8
\]
Cặp \( (m, n) = (8, 5) \)

7. **Nếu \( k = 6 \):**
\[
n = 6, \quad 2^{8-6} + 1 = 4 + 1 = 5 \Rightarrow m - 6 = 2
\Rightarrow m = 8
\]
Cặp \( (m, n) = (8, 6) \)

8. **Nếu \( k = 7 \):**
\[
n = 7, \quad 2^{8-7} + 1 = 2 + 1 = 3 \Rightarrow m - 7 = 1
\Rightarrow m = 8
\]
Cặp \( (m, n) = (8, 7) \)

9. **Nếu \( k = 8 \):**
\[
n = 8, \quad 2^{8-8} + 1 = 1 + 1 = 2 \Rightarrow m - 8 = 0
\Rightarrow m = 8
\]
Cặp \( (m, n) = (8, 8) \)

Tóm lại, các cặp \((m, n)\) thỏa mãn là:

\[
(m, n) = (8, 0), (8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 4), (8, 5), (8, 6), (8, 7), (8, 8)
\]

Chúng ta chỉ cần các giá trị \( m > n \). Ta có những cặp hợp lệ là \( (8, n) \) với \( n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \).