Để giải bài toán này, ta sẽ biến đổi các phương trình theo thông tin đã cho.

1. **Thiết lập mối quan hệ giữa a, b, c:**
- Giả sử \(k = 5a = 8b = 3c\).
- Từ đó, ta có thể biểu diễn a, b, c theo k:
\[
a = \frac{k}{5}, \quad b = \frac{k}{8}, \quad c = \frac{k}{3}.
\]

2. **Thay vào phương trình thứ hai:**
\[
a - 2b + c = 34.
\]
Như vậy, thay các giá trị của a, b, c vào phương trình này:
\[
\frac{k}{5} - 2 \cdot \frac{k}{8} + \frac{k}{3} = 34.
\]

3. **Tìm cơ số chung để tính toán:**
Cơ số chung nhỏ nhất của 5, 8 và 3 là 120. Ta sẽ nhân cả phương trình với 120 để loại bỏ mẫu:
\[
120 \left( \frac{k}{5} \right) - 120 \left( 2 \cdot \frac{k}{8} \right) + 120 \left( \frac{k}{3} \right) = 120 \cdot 34.
\]
Thực hiện phép tính:
\[
24k - 30k + 40k = 4080.
\]
\[
34k = 4080.
\]
Từ đó ta tìm được:
\[
k = \frac{4080}{34} = 120.
\]

4. **Xác định giá trị của a, b, c:**
Thay k vào từng biểu thức:
\[
a = \frac{120}{5} = 24,
\]
\[
b = \frac{120}{8} = 15,
\]
\[
c = \frac{120}{3} = 40.
\]

5. **Kết quả:**
Các số a, b, c thỏa mãn là:
\[
a = 24, \quad b = 15, \quad c = 40.
\]