Cho dãy tỉ số bằng nhau, chứng minh rằng

Để chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{x + 2y + z} = \frac{b}{2x + y - z} = \frac{c}{4x - 4y + z}
\]

chúng ta bắt đầu từ giả thiết:

\[
\frac{x}{a + 2b + c} = \frac{y}{2a + b - c} = \frac{z}{4a - 4b + c} = k
\]

với \( k \) là một hằng số.

Từ điều này, ta có các biểu thức cho \( x, y, z \):

\[
x = k(a + 2b + c)
\]
\[
y = k(2a + b - c)
\]
\[
z = k(4a - 4b + c)
\]

Bây giờ chúng ta thay các giá trị \( x, y, z \) vào bên trái của biểu thức chúng ta cần chứng minh:

1. Tính \( x + 2y + z \):

\[
x + 2y + z = k(a + 2b + c) + 2k(2a + b - c) + k(4a - 4b + c)
\]

\[
= k \left( a + 2b + c + 4a + 2b - 2c + 4a - 4b + c \right)
\]

\[
= k(9a + 0b + 0c) = 9ak
\]

2. Tính \( 2x + y - z \):

\[
2x + y - z = 2k(a + 2b + c) + k(2a + b - c) - k(4a - 4b + c)
\]

\[
= k \left( 2a + 4b + 2c + 2a + b - c - 4a + 4b - c \right)
\]

\[
= k(0a + 9b - 0c) = 9bk
\]

3. Tính \( 4x - 4y + z \):

\[
4x - 4y + z = 4k(a + 2b + c) - 4k(2a + b - c) + k(4a - 4b + c)
\]

\[
= k \left( 4a + 8b + 4c - 8a - 4b + 4c + 4a - 4b + c \right)
\]

\[
= k(0a + 0b + 9c) = 9ck
\]

Giờ chúng ta có:

- \( x + 2y + z = 9ak \)
- \( 2x + y - z = 9bk \)
- \( 4x - 4y + z = 9ck \)

Vì vậy:

\[
\frac{a}{x + 2y + z} = \frac{a}{9ak} = \frac{1}{9k}
\]
\[
\frac{b}{2x + y - z} = \frac{b}{9bk} = \frac{1}{9k}
\]
\[
\frac{c}{4x - 4y + z} = \frac{c}{9ck} = \frac{1}{9k}
\]

Do đó, chúng ta có:

\[
\frac{a}{x + 2y + z} = \frac{b}{2x + y - z} = \frac{c}{4x - 4y + z}
\]

Chứng minh đã hoàn tất.