Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần.

### a) Chứng minh rằng BDEC là hình thang cân.

**Giả thiết:** Tam giác ABC là tam giác cân tại A, nghĩa là AB = AC. Ta cũng có AD = AE.

**Chứng minh:**

- Xét hai tam giác ADC và AEC.
- Ta có:
- AD = AE (theo giả thiết).
- AB = AC (do tam giác ABC cân).
- Góc ADB = Góc AEC (bởi vì góc ở đỉnh A, hai tam giác có đỉnh A và cùng chung cạnh AC).

Do đó, theo tiêu chí tam giác đồng dạng (cạnh-cạnh-cạnh), ta có:

\[
\triangle ADC \cong \triangle AEC
\]

Từ đó, suy ra:

\[
DC = EC
\]

Và góc ADB = góc AEC.

- Hình thang BDEC có hai cạnh đáy là BD và CE với DC và EC bằng nhau, nghĩa là BEC cũng như DCB đều có các cạnh tương ứng bằng nhau, do đó BDEC là hình thang cân.

### b) Gọi O là giao điểm của DC và BE. Chứng minh: OD=OE, OB=OC.

**Chứng minh:**

- Do O là giao điểm của DC và BE, ta cần chứng minh các đoạn OD, OE cũng như OB, OC.
- Từ tam giác BDC và BEC, ta có:

1. Trong tam giác BDC, áp dụng định lý cạnh đối của tam giác tại O, ta có:
- OD và OE là hai cạnh không cùng thuộc một đỉnh O đều cắt AC và AB ở vị trí khác nhau.

2. Từ việc đã có BDEC là hình thang cân, ta có OB = OC (bởi vì chúng là hai cạnh bên của hình thang cân).

3. Từ hai tam giác ADC và AEC đã chứng minh được là đồng dạng, ta có OD và OE cũng có độ dài bằng nhau.

Kết luận:
- OD = OE và OB = OC.

### c) Tính các góc của tứ giác BDEC, biết góc A = 50 độ.

**Giả thiết:** Góc A = 50 độ trong tam giác ABC.

**Chứng minh các góc của tứ giác BDEC:**

- Tính góc B và C:
- B+C = 180 độ - A = 180 độ - 50 độ = 130 độ. Ngoài ra, vì ABC là tam giác cân, nên B = C = 65 độ.

- Tính các góc D và E:
- Xét góc D:
- Góc D = góc AED (theo định nghĩa góc và các đường vuông góc của hình thang) = góc ABC = 65 độ.

- Tương tự, ta có:
- Góc E = góc ADB = 65 độ.

Kết luận:
- Các góc của tứ giác BDEC là:
- Góc B = 65 độ;
- Góc D = 65 độ;
- Góc C = 65 độ;
- Góc E = 65 độ.

Đáp án là:
- Góc BDEC đều bằng 65 độ.

**Tóm lại:**
1) BDEC là hình thang cân.
2) OD = OE và OB = OC.
3) Góc B = 65 độ, góc D = 65 độ, góc C = 65 độ, góc E = 65 độ.