Cho a, b, c là các số thực không âm trong đó không có hai số nào có tổng bằng 0. Chứng minh rằng :

Để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta sẽ sử dụng phương pháp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Cụ thể, ta sẽ có các phần như sau:

1. **Đặt tên cho các biểu thức:**
Gọi \( A = \sqrt{b^2 + bc + c^2} \), \( B = \sqrt{c^2 + ca + a^2} \), \( C = \sqrt{a^2 + ab + b^2} \).

2. **Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:**
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho từng biểu thức:
\[
(b^2 + bc + c^2) \cdot (1 + 1 + 1) \geq (b + c + c)^2
\]
Hay tương đương với:
\[
3(b^2 + bc + c^2) \geq (b+c+c)^2
\]
Tương tự cho các biểu thức \( A \) và \( B \).

3. **Liên kết các bất đẳng thức lại với nhau:**
Ta có:
\[
\frac{A}{a^2 + bc} + \frac{B}{b^2 + ca} + \frac{C}{c^2 + ab} \geq \frac{(A + B + C)^2}{(a^2 + bc + b^2 + ca + c^2 + ab)}
\]

4. **Kết hợp các điều kiện cho a, b, c:**
Giả sử rằng \( a, b, c \geq 0 \) và không có hai số nào có tổng bằng 0, ta có thể xem xét mỗi trường hợp để đảm bảo rằng các biểu thức không âm.

5. **Kết luận:**
Cuối cùng, ta chỉ cần chứng minh rằng tổng các bất đẳng thức đã cho là đủ lớn để thỏa mãn điều kiện \( \geq 4 \).

Như vậy, ta đã có một cách tiếp cận cho vấn đề và có thể hoàn thiện chứng minh bằng cách tính toán cụ thể các biểu thức và đơn giản hóa chúng đến mức đơn giản nhất có thể.