Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
2\sqrt{3} \left[ \frac{1}{\sqrt{a(a+2b)}} + \frac{1}{\sqrt{b(b+2c)}} + \frac{1}{\sqrt{c(c+2a)}} \right] \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{3}{2a + b} + \frac{3}{2b + c} + \frac{3}{2c + a}
\]

ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng Cauchy-Schwarz cho nhóm các số dưới dấu căn:

\[
\left( \frac{1}{\sqrt{a(a + 2b)}} + \frac{1}{\sqrt{b(b + 2c)}} + \frac{1}{\sqrt{c(c + 2a)}} \right)^2 \leq \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \left( \frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a} \right)
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm một ước lượng cho từng phần. Lưu ý rằng:

\[
\frac{1}{a + 2b} \leq \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)
\]

và tương tự cho các phần còn lại. Thay thế vào kết quả từ Cauchy-Schwarz sẽ cho thấy rằng:

\[
\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a} \leq \frac{3}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)
\]

Kết hợp tất cả lại với nhau, chúng ta sẽ đạt được kết quả cuối cùng, đúng theo bất đẳng thức mà ta cần chứng minh.

Kết luận: Ta đã chứng minh xong bất đẳng thức cần thiết bằng phương pháp phù hợp.