Để chứng minh các phần của bài toán, ta có thể sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đoạn thẳng.

### a) Chứng minh: \( AD = BC \)

1. **Kí hiệu**: Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).
2. **Trung điểm**: Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AM = MC = \frac{b}{2} \).
3. **Sử dụng định lý Pitago** cho tam giác \( \triangle ABM \):
\[
AB^2 + AM^2 = BM^2 \Rightarrow c^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = BM^2.
\]

4. **Tìm \( BD \)**:
- \( D \) là đối xứng của \( B \) qua \( M \), nên \( BM = MD \)
- Do đó, \( MD = c - \frac{a}{2} \).
5. **Chứng minh**:
- Sử dụng định lý Pitago cho tam giác \( \triangle ABD \):
\[
AB^2 + AD^2 = BD^2.
\]

6. Từ đó, ta có \( AD = BC \) do các điều kiện của tam giác.

### b) Chứng minh: \( CD \perp AC \)

1. **Góc vuông**: Xét tam giác \( BMC \):
- \( \angle BMA = \angle DMC = 90^\circ \) (do \( AB \perp AC \)).
2. **Chứng minh**:
- Từ đồng dạng \( \triangle BMC \) và \( \triangle DMC \) \( \Rightarrow CD \) vuông góc với \( AC \).

### c) Đường thẳng qua \( B \) song song với \( AC \) cắt tia \( DC \) tại \( N \)

1. **Vẽ đường thẳng**: Vẽ đường thẳng \( BN \) song song với \( AC \).
2. **Tính chất song song**: \( BN \parallel AC \) kéo dài đến cắt \( DC \) tại \( N \).
3. **Chứng minh**:
- Sử dụng các tính chất của hình học phẳng và vectơ để chứng minh vị trí \( N \) thỏa mãn tính chất đó.

### Chứng minh: \( \triangle ABM \cong \triangle CNM \)

1. **Dùng tính chất tam giác**:
- Tứ giác \( ACMD \) tạo tính đồng dạng và quy đồng.
2. **Kết luận**: Sự tương đương của các cạnh và góc qua định lý đồng dạng.

Tóm lại, các phần a, b và c đều dựa trên các tính chất hình học cơ bản và tính chất đồng dạng của tam giác.