Để giải phương trình \( 2^{x} + 2^{x} + 3 = 144 \), ta trước tiên làm rõ phương trình.

Phương trình đã cho có thể được viết lại thành:
\[
2 \cdot 2^{x} + 3 = 144.
\]

Giải phương trình này theo các bước sau:

1. Chuyển 3 sang vế bên phải:
\[
2 \cdot 2^{x} = 144 - 3,
\]
hay
\[
2 \cdot 2^{x} = 141.
\]

2. Chia cả hai vế cho 2:
\[
2^{x} = \frac{141}{2} = 70.5.
\]

3. Lấy logarit cơ số 2 của cả hai vế để tìm \( x \):
\[
x = \log_{2}(70.5).
\]

Tính giá trị cụ thể của \( x \):
\[
x \approx \frac{\log_{10}(70.5)}{\log_{10}(2)}.
\]

Sử dụng máy tính để tính giá trị tương ứng, ta sẽ có:
\[
\log_{10}(70.5) \approx 1.847 \quad \text{và} \quad \log_{10}(2) \approx 0.301.
\]
Do đó,
\[
x \approx \frac{1.847}{0.301} \approx 6.14.
\]

Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là:
\[
x \approx 6.14.
\]