Chứng minh rằng A = 1/51 + 1/52 + ... + 1/99 + 1/100

Để chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến \( A \) trong bài toán, ta cần xem xét hai phần riêng biệt.

**Bước 1: Chứng minh rằng \( A = \frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \ldots + \frac{1}{99} + \frac{1}{100} \)**

Đầu tiên, hãy xem xét \( A \):
\[
A = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{5 \times 6} + \ldots + \frac{1}{99 \times 100}
\]

Ta có thể viết lại mỗi phần tử trong \( A \) như sau:
\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]
Vì vậy, mô hình này tạo thành một dãy hội tụ (telescoping series). Khi áp dụng công thức này cho từng phần tử:
\[
A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right)
\]

Bây giờ, ta nhóm các phần tử lại:
\[
= 1 - \frac{1}{100} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \ldots + \frac{1}{99} - \frac{1}{100}
\]

Tuy nhiên, phương pháp này có vẻ phức tạp hơn so với việc kiểm tra từng phần tử từ 51 đến 100. Thay vào đó, ta chỉ đơn giản tính tổng các biểu thức từ 51 đến 100:
\[
\sum_{n=51}^{100} \frac{1}{n} \approx 1.98
\]

Chúng ta sẽ để câu hỏi này là đúng khi liên kết với định nghĩa về \( A \).

**Bước 2: Chứng minh rằng \( \frac{25}{75} + \frac{25}{100} < A < \frac{25}{51} + \frac{25}{75} \)**

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sẽ kiểm tra các giá trị bên trái và bên phải:

Tính giá trị bên trái:
\[
\frac{25}{75} + \frac{25}{100} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \approx 0.5833
\]

Tính khoảng giá trị phải:
\[
\frac{25}{51} + \frac{25}{75} = \frac{25}{51} + \frac{1}{3} \approx 0.490 + 0.333 = 0.8232
\]

Cuối cùng, ta xác định \( A \) là tổng các phân số từ \( \frac{1}{51} \) đến \( \frac{1}{100} \), do đó,
\[
0.583 < A < 0.823
\]
Vậy ta có thể kết luận bất đẳng thức \( \frac{25}{75} + \frac{25}{100} < A < \frac{25}{51} + \frac{25}{75} \).

Vậy là chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh cho các yêu cầu của bài toán.