Để giải bài toán, ta cần xác định chiều cao và thể tích của hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi.

### Bước 1: Tính diện tích đáy

Diện tích của hình thoi được tính bằng công thức:
\[
S_{đáy} = \frac{d_1 \times d_2}{2}
\]
với \(d_1\) và \(d_2\) là độ dài của các đường chéo.

Ở đây, \(d_1 = 24 \, \text{cm}\) và \(d_2 = 10 \, \text{cm}\).

\[
S_{đáy} = \frac{24 \times 10}{2} = 120 \, \text{cm}^2
\]

### Bước 2: Tính chiều cao

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ được tính theo công thức:
\[
S_{tp} = S_{đáy} + P_{đáy} \times h
\]
với \(P_{đáy}\) là chu vi đáy và \(h\) là chiều cao.

Từ đề bài, ta có:
- \(S_{tp} = 1020 \, \text{cm}^2\)
- \(P_{đáy} = 52 \, \text{cm}\)

Thay vào công thức ta có:
\[
1020 = 120 + 52h
\]
Giải phương trình này:
\[
1020 - 120 = 52h \implies 900 = 52h \implies h = \frac{900}{52} \approx 17.31 \, \text{cm}
\]

### Bước 3: Tính thể tích

Thể tích \(V\) của hình lăng trụ được tính bằng:
\[
V = S_{đáy} \times h
\]
Thay các giá trị đã tìm vào:
\[
V = 120 \times 17.31 \approx 2077.2 \, \text{cm}^3
\]

### Kết quả

- **Chiều cao:** \(h \approx 17.31 \, \text{cm}\)
- **Thể tích:** \(V \approx 2077.2 \, \text{cm}^3\)