Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hằng đẳng thức, ta sẽ áp dụng các hằng đẳng thức nổi tiếng như hằng đẳng thức của tổng và hiệu của hai lập phương, hằng đẳng thức của bình phương của tổng, bình phương của hiệu, v.v.

### a) Đa thức \( x^3 + 1 - x^2 - x \)

Đầu tiên, ta sẽ sắp xếp lại đa thức:

\[
x^3 - x^2 - x + 1
\]

Ta có thể nhóm các hạng tử lại với nhau:

\[
= x^3 - x^2 - x + 1 = (x^3 - x^2) + (-x + 1)
\]

Nhóm các hạng tử lại cho dễ dàng hơn:

\[
= x^2(x - 1) - 1(x - 1)
\]

Bây giờ, ta có thể nhận thấy rằng \( (x - 1) \) là một yếu tố chung:

\[
= (x^2 - 1)(x - 1)
\]

Tiếp theo, ta nhận thấy rằng \( x^2 - 1 \) có thể được phân tích thêm:

\[
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
\]

Vậy nên, ta có:

\[
= (x - 1)(x - 1)(x + 1) = (x - 1)^2(x + 1)
\]

**Kết quả:**
\[
x^3 + 1 - x^2 - x = (x - 1)^2(x + 1)
\]

### b) Đa thức \( (x + y)^3 - x^3 - y^3 \)

Ta sử dụng hằng đẳng thức cho hiệu của hai lập phương:

\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Do đó, \( (x + y)^3 - x^3 - y^3 = (x+y - x - y)((x+y)^2 - (x+y)x - (x+y)y) \) hay đơn giản hơn, ta có thể áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức cho hiệu.

Biểu thức này có thể được viết lại là (x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y) vì:

\[
(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)
\]

Vì vậy, ta sẽ có:

\[
= (x + y)^3 - x^3 - y^3 = 3xy(x + y)
\]

**Kết quả:**
\[
(x+y)^3 - x^3 - y^3 = 3xy(x+y)
\]

### Tóm lại:
- a) \( x^3 + 1 - x^2 - x = (x - 1)^2(x + 1) \)
- b) \( (x+y)^3 - x^3 - y^3 = 3xy(x+y) \)