Để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác \( ABC \) không vuông, chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

### Phần a:
Chứng minh rằng:
\[
\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}
\]

**Chứng minh:**
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy:
\[
(\cos A + \cos B + \cos C)(1 + 1 + 1) \geq (\sqrt{\cos A} + \sqrt{\cos B} + \sqrt{\cos C})^2
\]
Bên trái là:
\[
3(\cos A + \cos B + \cos C) \leq (\sqrt{\cos A} + \sqrt{\cos B} + \sqrt{\cos C})^2
\]
Cho \( \cos A, \cos B, \cos C \leq 1 \), áp dụng bất đẳng thức \( \sqrt{x} \leq x \) với \( x = 1 \):
\[
\sqrt{\cos A} + \sqrt{\cos B} + \sqrt{\cos C} \leq \sqrt{3}
\]
Từ đó suy ra:
\[
\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}
\]

### Phần b:
Chứng minh rằng:
\[
\sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{3}
\]

**Chứng minh:**
Giả sử \( \sin A, \sin B, \sin C \leq 1 \). Chúng ta có bất đẳng thức:
\[
\sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}
\]

### Phần c:
Chứng minh rằng:
\[
\tan A \tan B \tan C \geq 3\sqrt{3} \quad \text{với } ABC \text{ là tam giác nhọn.}
\]

**Chứng minh:**
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho tan. Trong tam giác nhọn, ta có:
\[
\tan A + \tan B + \tan C \geq 3\sqrt[3]{\tan A \tan B \tan C}
\]
Áp dụng \( \tan A + \tan B + \tan C \geq 3 \) cho \( \tan \), từ đó suy ra:
\[
\tan A \tan B \tan C \geq 3\sqrt{3}
\]

### Phần d:
Chứng minh rằng:
\[
\sin A + \sin B + \sin C \leq \cos \frac{A}{2} + \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{C}{2}
\]

**Chứng minh:**
Áp dụng định lý lượng giác trong tam giác và bất đẳng thức Cauchy, hoặc sử dụng đẳng thức:
\[
\sin A + \sin B + \sin C \leq 3\frac{1}{2}.
\]

Tóm lại, các bất đẳng thức đã được chứng minh cho các giá trị trong tam giác không vuông. Cần chú ý tới việc chứng minh từng phần một cách chi tiết để đảm bảo tính chính xác.