Để phân tích đa thức \(x^2 + 2xy + 2y^2 + 2y + 1\) bằng phương pháp hằng đẳng thức, chúng ta có thể thử biến đổi thành các hằng đẳng thức đã biết.

Bước 1: Nhóm các hạng tử lại với nhau để dễ dàng nhận diện:
\[
x^2 + 2xy + 2y^2 + 2y + 1 = x^2 + 2xy + (2y^2 + 2y) + 1
\]

Bước 2: Nhận thấy rằng \(x^2 + 2xy\) có thể viết lại theo hằng đẳng thức:
\[
x^2 + 2xy = (x+y)^2 - y^2
\]

Bước 3: Đưa phần còn lại về một dạng có thể nhóm lại:
\[
2y^2 + 2y = 2(y^2 + y) = 2y(y+1)
\]

Bước 4: Kết hợp lại vào đa thức ban đầu:
\[
x^2 + 2xy + 2y(y + 1) + 1 = (x+y)^2 + 2y(y + 1) + 1
\]

Bước 5: Chúng ta thử hoàn thành bình phương. Nhắc lại rằng:
\[
2y^2 + 2y + 1 = 2\left(y^2 + y + \frac{1}{2}\right)
\]
Với \(y^2 + y + \frac{1}{2}\) là không phải là một hằng đẳng thức đơn giản.

Tuy nhiên, nếu để ý lại, \(1\) có thể được viết dưới dạng:
\[
1 = (y + 1)^2 - y^2
\]

Bước 6: Kết hợp mọi thứ lại với nhau:
Nhận thấy rằng \(x^2 + 2xy + 2y^2 + 2y + 1\) bằng:
\[
(x + y + 1)^2 - y^2 = (x + y + 1 + y)(x + y + 1 - y)
\]

Bước 7: Do đó, đa thức có thể được phân tích thành:
\[
(x + y + 1)^2
\]

### Kết luận:
Đa thức \(x^2 + 2xy + 2y^2 + 2y + 1\) có thể phân tích thành nhân tử dưới dạng:
\[
(x + y + 1)^2
\]