Cho hình lập phương abcd.a'b'c'd'

Để xác định các góc trong hình lập phương \( abcd.a'b'c'd' \), ta trước tiên cần xác định các vector đại diện cho các cạnh mà chúng ta cần tính góc.

Gọi các đỉnh của hình lập phương như sau:

- \(A(0, 0, 0)\)
- \(B(1, 0, 0)\)
- \(C(1, 1, 0)\)
- \(D(0, 1, 0)\)
- \(A'(0, 0, 1)\)
- \(B'(1, 0, 1)\)
- \(C'(1, 1, 1)\)
- \(D'(0, 1, 1)\)

### 1. Tính góc \((AB, A'D')\)

Vector \( \overrightarrow{AB} \) là:
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
\]

Vector \( \overrightarrow{A'D'} \) là:
\[
\overrightarrow{A'D'} = D' - A' = (0, 1, 1) - (0, 0, 1) = (0, 1, 0)
\]

Góc giữa hai vector này được tính bằng công thức:
\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A'D'}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{A'D'}|}
\]

Tính tích có hướng:
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A'D'} = (1, 0, 0) \cdot (0, 1, 0) = 0
\]

Ta cũng tính độ dài của các vector:
\[
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1
\]
\[
|\overrightarrow{A'D'}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1
\]

Do đó:
\[
\cos \theta = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0 \Rightarrow \theta = 90^\circ
\]

### 2. Tính góc \((AB, A'C')\)

Vector \( \overrightarrow{A'C'} \) là:
\[
\overrightarrow{A'C'} = C' - A' = (1, 1, 1) - (0, 0, 1) = (1, 1, 0)
\]

Tính tích có hướng:
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A'C'} = (1, 0, 0) \cdot (1, 1, 0) = 1
\]

Áp dụng công thức tính góc:
\[
\cos \theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = 45^\circ
\]

### 3. Tính góc \((BD, B'C')\)

Vector \( \overrightarrow{BD} \) là:
\[
\overrightarrow{BD} = D - B = (0, 1, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 0)
\]

Vector \( \overrightarrow{B'C'} \) là:
\[
\overrightarrow{B'C'} = C' - B' = (1, 1, 1) - (1, 0, 1) = (0, 1, 0)
\]

Tính tích có hướng:
\[
\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{B'C'} = (-1, 1, 0) \cdot (0, 1, 0) = 1
\]

Áp dụng công thức tính góc:
\[
\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = 45^\circ
\]

### Kết quả

- Góc \((AB, A'D') = 90^\circ\)
- Góc \((AB, A'C') = 45^\circ\)
- Góc \((BD, B'C') = 45^\circ\)