Để giải hệ phương trình

\[
\begin{cases}
2x\sqrt{3} + y = 2\sqrt{2} \\
x\sqrt{6} - y\sqrt{2} = 1
\end{cases}
\]

ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. Từ phương trình thứ nhất, ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):

\[
y = 2\sqrt{2} - 2x\sqrt{3}
\]

2. Thay \(y\) vào phương trình thứ hai:

\[
x\sqrt{6} - (2\sqrt{2} - 2x\sqrt{3})\sqrt{2} = 1
\]

3. Đơn giản hóa phương trình trên:

\[
x\sqrt{6} - 2\sqrt{2}\sqrt{2} + 2x\sqrt{3}\sqrt{2} = 1
\]

\[
x\sqrt{6} - 4 + 2x\sqrt{6} = 1
\]

4. Gộp các số hạng với \(x\):

\[
(1 + 2)x\sqrt{6} = 5
\]

\[
3x\sqrt{6} = 5
\]

\[
x = \frac{5}{3\sqrt{6}}
\]

5. Tính giá trị của \(y\):

Thay \(x\) vào phương trình \(y = 2\sqrt{2} - 2x\sqrt{3}\):

\[
y = 2\sqrt{2} - 2 \cdot \frac{5}{3\sqrt{6}}\sqrt{3}
\]

\[
y = 2\sqrt{2} - \frac{10\sqrt{3}}{3\sqrt{6}} = 2\sqrt{2} - \frac{10\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}
\]

\[
y = 2\sqrt{2} - \frac{10\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}
\]

Sau khi tính toán, chúng ta sẽ có giá trị cho \(x\) và \(y\).

Cuối cùng, kết quả là:

\[
\begin{cases}
x = \frac{5}{3\sqrt{6}} \\
y = 2\sqrt{2} - \frac{10\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}
\end{cases}
\]