Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = x - x^2 - 1 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Viết lại biểu thức**:
\[
P = -x^2 + x - 1
\]

2. **Nhận diện dạng bậc hai**:
Biểu thức \( P \) là một hàm bậc hai với hệ số bậc 2 là âm, nên đồ thị của nó có dạng parabol mở xuống.

3. **Tìm đỉnh của parabol**:
Đỉnh của parabol có tọa độ \( x = -\frac{b}{2a} \), với \( a = -1 \) và \( b = 1 \):
\[
x = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2}
\]

4. **Thay giá trị \( x \) vào biểu thức để tìm giá trị lớn nhất**:
\[
P\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} - 1
\]
\[
= -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}
\]

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = x - x^2 - 1 \) là \( -\frac{3}{4} \).