Để chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho.

1. **Gọi các yếu tố trong tam giác**:
- Gọi \( AC = b \).
- Theo đề bài, ta có \( AD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} b \).

2. **Xem xét góc**:
- Theo điều kiện của bài toán, ta có:
\[
\angle BAC = \frac{1}{2} \angle DAC.
\]
- Gọi \( \angle BAC = x \), thì \( \angle DAC = 2x \).

3. **Áp dụng định luật Sin trong tam giác**:
- Trong tam giác \( \triangle ABD \),
- Áp dụng định luật Sin ta có:
\[
\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}.
\]
- Trong tam giác \( \triangle ACD \),
- Áp dụng định luật Sin:
\[
\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{AD}{\sin(\angle CAD)}.
\]

4. **Lưu ý về các góc**:
- Từ hình bình hành, ta có \( \angle ABD = \angle ACD \) và \( \angle ADB = \angle DAC \).

5. **So sánh tỷ số**:
- Tính theo định luật Sin trong các tam giác thì ta sẽ có một mối liên hệ giữa các cạnh và góc, rút ra được từ các biểu thức của \( AD \), \( AC \), và các góc tương ứng.

6. **Chứng minh góc vuông**:
- Ta có:
\[
\frac{AD}{AC} = \frac{\frac{1}{2} b}{b} = \frac{1}{2}.
\]
- Kết hợp với điều kiện góc \( \angle BAC = x \) và \( \angle DAC = 2x \), suy ra \( 3x = 180^\circ \) (trong tam giác \( \triangle ABD \)) dẫn đến \( x = 60^\circ \).

7. **Từ đây, chúng ta suy ra**:
- Khi \( \angle BAC + \angle DAC = 90^\circ \), tức là \( \angle BAC \) và \( \angle DAC \) bổ sung nhau.
- Do đó, \( \angle ACD = 90^\circ \) và vì vậy \( ABCD \) là hình chữ nhật.

Vậy ta đã chứng minh được rằng hình bình hành \( ABCD \) là hình chữ nhật.