Để chứng minh cả ba biểu thức trong bài toán này, chúng ta sẽ khảo sát từng phần một và kiểm tra xem liệu các biểu thức có thuộc tập hợp các số tự nhiên \(\mathbb{N}\) hoặc số nguyên \(\mathbb{Z}\) không.

### 1. Chứng minh A
Biểu thức:
\[
A = n(3n - 1) - 3n(n - 2)
\]

Giải thích:
- Tính \(A\):
\[
A = n(3n - 1) - 3n(n - 2) = n(3n - 1 - 3(n - 2)) = n(3n - 1 - 3n + 6) = n(5)
\]
- Kết quả:
\[
A = 5n
\]
Vì \(n \in \mathbb{R}\), \(5n \in \mathbb{N}\) khi \(n \geq 0\).

### 2. Chứng minh B
Biểu thức:
\[
B = n(n + 5) - (n - 3)(n + 2)
\]

Giải thích:
- Tính \(B\):
\[
B = n(n + 5) - (n^2 + 2n - 3n - 6) = n(n + 5) - (n^2 - n - 6)
\]
\[
= n^2 + 5n - n^2 + n + 6 = 6n + 6
\]
- Kết quả:
\[
B = 6(n + 1)
\]
Vì \(n \in \mathbb{Z}\), \(B\) sẽ là số nguyên dương.

### 3. Chứng minh C
Biểu thức:
\[
C = (n^2 + 3n - 1)(n + 2) - n^3 + 2
\]

Giải thích:
- Tính \(C\):
\[
C = (n^2 + 3n - 1)(n + 2) - n^3 + 2
\]
Tính phần mở ngoặc trước:
\[
= n^3 + 2n^2 + 3n^2 + 6n - n^3 - n^3 + 2 = (n^3 - n^3) + (2n^2 + 3n^2) + (6n) + 2 = 5n^2 + 6n + 2
\]
- Kết quả:
\[
C = 5n^2 + 6n + 2
\]
Vì \(n \in \mathbb{Z}\), \(C\) là một biểu thức bậc 2, và luôn có giá trị nguyên cho bất kỳ \(n \in \mathbb{Z}\).

### Kết luận:
1. A thuộc \(\mathbb{N}\) cho mọi \(n \geq 0\).
2. B thuộc \(\mathbb{N}\) cho mọi \(n \in \mathbb{Z}\).
3. C thuộc \(\mathbb{Z}\) cho mọi \(n \in \mathbb{Z}\).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh thành công rằng cả ba biểu thức đều thỏa mãn yêu cầu của bài toán.