Chúng ta sẽ giải quyết bài toán này theo hai phần:

### Phần a: Chứng minh rằng \(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2006}\) chia hết cho 7.

Đạo hàm biểu thức trên là một chuỗi hình học. Công thức tổng quát cho chuỗi hình học là:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong trường hợp của chúng ta, \(a = 1\), \(r = 2\), và \(n = 2006\):

\[
S = 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2006} = \frac{1 \cdot (2^{2007} - 1)}{2 - 1} = 2^{2007} - 1
\]

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng \(2^{2007} - 1\) chia hết cho 7.

Ta sẽ sử dụng định lý Fermat: \(a^{p-1} \equiv 1 \mod p\) với \(p = 7\). Ta có:

\[
2^6 \equiv 1 \mod 7
\]

Sau đó, 2007 chia cho 6 được:

\[
2007 \mod 6 = 3
\]

Vì vậy:

\[
2^{2007} \equiv 2^3 \mod 7
\]

Tính \(2^3\):

\[
2^3 = 8 \equiv 1 \mod 7
\]

Do đó:

\[
2^{2007} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 7
\]

Vậy \(2^{2007} - 1\) chia hết cho 7.

### Phần b: Tìm số dư trong phép chia \(2^{2006}\) cho 7.

Tương tự như phần a, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc Fermat nữa:

\[
2^{2006} \mod 7
\]

Biết rằng \(2^6 \equiv 1 \mod 7\), nên ta có:

\[
2006 \mod 6 = 2
\]

Do đó:

\[
2^{2006} \equiv 2^2 \mod 7
\]

Tính \(2^2\):

\[
2^2 = 4
\]

Vậy số dư khi chia \(2^{2006}\) cho 7 là 4.

### Kết luận:
- Phần a: \(1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2006}\) chia hết cho 7.
- Phần b: Số dư trong phép chia \(2^{2006}\) cho 7 là 4.