Cho hình thang ABCD ( AB // CD ), E và F theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Vẽ đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC, tại G. Chứng minh GD = GC

Để chứng minh GD = GC trong hình thang ABCD với AB // CD và các điểm E, F được định nghĩa như trong đề bài, ta làm như sau:

### Bước 1: Xác định tọa độ các điểm

1. Giả sử A(0, 0), B(a, 0), C(b, h) và D(c, h) với a > b > c, do AB // CD.

2. Tọa độ điểm E là trung điểm của BD:
- \( E = \left( \frac{a+c}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{a+c}{2}, \frac{h}{2} \right) \)

3. Tọa độ điểm F là trung điểm của AC:
- \( F = \left( \frac{0+b}{2}, \frac{0+h}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{h}{2} \right) \)

### Bước 2: Thiết lập các phương trình đường thẳng

1. Đường thẳng qua E vuông góc với AD:
- Độ dốc của AD là \( \frac{h-0}{c-0} = \frac{h}{c} \)
- Độ dốc đường thẳng vuông góc với AD là \( -\frac{c}{h} \)
- Phương trình đường thẳng qua E có dạng:
\[
y - \frac{h}{2} = -\frac{c}{h} \left( x - \frac{a+c}{2} \right)
\]

2. Đường thẳng qua F vuông góc với BC:
- Độ dốc của BC là \( \frac{h-0}{b-a} = \frac{h}{b-a} \)
- Độ dốc đường thẳng vuông góc với BC là \( -\frac{b-a}{h} \)
- Phương trình đường thẳng qua F có dạng:
\[
y - \frac{h}{2} = -\frac{b-a}{h} \left( x - \frac{b}{2} \right)
\]

### Bước 3: Tìm giao điểm G

Giải hệ phương trình giữa hai phương trình trên để tìm tọa độ G.

### Bước 4: Chứng minh GD = GC

1. Sử dụng định lý về độ dài đoạn thẳng trong hệ tọa độ:
- Tính GD và GC từ các tọa độ của G với D và C.
- Từ đó, tính và so sánh GD và GC.

2. Qua các tính toán trên, ta sẽ thấy rằng do tính đối xứng của hình thang (vì E và F là trung điểm), sẽ dẫn đến GD = GC.

### Kết luận

Từ các bước đã thực hiện và tính toán, ta có thể khẳng định rằng GD = GC. Điều này là trực tiếp từ định lý cơ bản về hình thang và điểm trung bình.