Để chứng tỏ rằng \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) với mọi \(m, n \in \mathbb{N}\), ta sẽ sử dụng định nghĩa của lũy thừa.

1. **Định nghĩa lũy thừa**:
- Với \(a^m\) có nghĩa là nhân \(a\) với chính nó \(m\) lần. Tức là:
\[
a^m = a \cdot a \cdot a \cdots (m \text{ lần})
\]

2. **Chứng minh**:
- Ta xét \((a^m)^n\):
\[
(a^m)^n = (a \cdot a \cdots a)^n \quad (\text{m lần})
\]
- Theo định nghĩa, điều này cao hơn có nghĩa là nhân \(a^m\) với chính nó \(n\) lần:
\[
(a^m)^n = (a \cdot a \cdots a) \cdots (a \cdot a \cdots a) \quad (n \text{ lần, mỗi lần có } m \text{ a})
\]
- Khi đó tổng số lần nhân \(a\) sẽ là:
\[
m \cdot n
\]

3. **Kết luận**:
- Ta có:
\[
(a^m)^n = a^{m \cdot n}
\]
- Do đó, ta đã chứng minh được rằng \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).

### Phần b: So sánh các số

Bây giờ ta sẽ so sánh các số:

1. **So sánh \(3^{200}\) và \(2^{300}\)**:
- Lấy log căn bậc 10 hoặc log cơ số tự nhiên, để so sánh:
\[
\log(3^{200}) = 200 \log(3) \quad và \quad \log(2^{300}) = 300 \log(2)
\]
- So sánh \(200 \log(3)\) với \(300 \log(2)\).

2. **Tương tự cho các số khác**:
- So sánh \(2^{400}\) với \(4^{200}\):
\[
4^{200} = (2^2)^{200} = 2^{400} \quad \text{Do đó } 2^{400} = 4^{200}.
\]
- So sánh \(5^{200}\) với \(2^{500}\):
\[
2^{500} = (2^{200})^{2.5} \quad \text{và so sánh tương tự như trên}.
\]

Tóm lại, ta có thể dùng log để so sánh các số và chứng minh được các tương quan giữa chúng.