Cho hình chóp S ABCD. Có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = 2a và AD =D C = a; SA vuông góc với AD và AB ; SA = (2a căn3)/3. Tính góc : a) SB và CD. b) SD và BC

Để giải bài toán này, trước hết chúng ta cần xác định các tọa độ của các điểm trong hình chóp S ABCD.

### Xác định tọa độ các điểm:
- Chọn hệ tọa độ không gian
- Điểm \( A(0, 0, 0) \)
- Điểm \( B(2a, 0, 0) \) (vì \( AB = 2a \))
- Điểm \( D(0, a, 0) \) (vì \( AD = a \))
- Điểm \( C(2a, a, 0) \) (vì \( DC = a \))
- Điểm \( S(0, 0, h) \), với \( h = \frac{2a \sqrt{3}}{3} \) (vì \( SA \) vuông góc với mặt phẳng chứa \( ABCD \))

### Tính các vector:
- Vector \( \overrightarrow{SB} = B - S = (2a, 0, 0) - (0, 0, \frac{2a\sqrt{3}}{3}) = (2a, 0, -\frac{2a\sqrt{3}}{3}) \)
- Vector \( \overrightarrow{SD} = D - S = (0, a, 0) - (0, 0, \frac{2a\sqrt{3}}{3}) = (0, a, -\frac{2a\sqrt{3}}{3}) \)
- Vector \( \overrightarrow{CD} = D - C = (0, a, 0) - (2a, a, 0) = (-2a, 0, 0) \)
- Vector \( \overrightarrow{BC} = C - B = (2a, a, 0) - (2a, 0, 0) = (0, a, 0) \)

### Tính góc SB và CD:
Góc giữa hai vector \(\overrightarrow{SB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) được tính bằng công thức:

\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{SB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|}
\]

**Tính độ dài**:
1. \( |\overrightarrow{SB}| = \sqrt{(2a)^2 + 0^2 + \left(-\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{4a^2 + \frac{4a^2}{3}} = \sqrt{\frac{12a^2 + 4a^2}{3}} = \sqrt{\frac{16a^2}{3}} = \frac{4a}{\sqrt{3}} \)
2. \( |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-2a)^2 + 0^2 + 0^2} = 2a \)

**Tính tích vô hướng**:
\[
\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{CD} = (2a)(-2a) + (0)(0) + \left(-\frac{2a \sqrt{3}}{3}\right)(0) = -4a^2
\]

**Áp dụng công thức**:
\[
\cos \theta = \frac{-4a^2}{\left(\frac{4a}{\sqrt{3}} \cdot 2a\right)} = \frac{-4a^2}{\frac{8a^2}{\sqrt{3}}} = -\frac{4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]

**Kết luận**:
Góc giữa \( \overrightarrow{SB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) là:
\[
\theta = 150^\circ
\]

### Tính góc SD và BC:
Góc giữa hai vector \( \overrightarrow{SD} \) và \( \overrightarrow{BC} \) cũng tính được bằng công thức tương tự:

**Tính độ dài:**
1. \( |\overrightarrow{SD}| = \sqrt{0^2 + a^2 + \left(-\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{4a^2}{3}} = \sqrt{\frac{3a^2 + 4a^2}{3}} = \sqrt{\frac{7a^2}{3}} = \frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{3}} \)
2. \( |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(0)^2 + (a)^2 + (0)^2} = a \)

**Tính tích vô hướng**:
\[
\overrightarrow{SD} \cdot \overrightarrow{BC} = (0)(0) + (a)(a) + \left(-\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)(0) = a^2
\]

**Áp dụng công thức**:
\[
\cos \phi = \frac{a^2}{\left(\frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{3}} \cdot a\right)} = \frac{a^2}{\frac{\sqrt{7}a^2}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}
\]

**Kết luận**:
Góc giữa \( \overrightarrow{SD} \) và \( \overrightarrow{BC} \) là:
\[
\phi = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right)
\]

Như vậy, kết quả của bài toán là:
- a) Góc giữa SB và CD: \( 150^\circ \)
- b) Góc giữa SD và BC: \( \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right) \)