Để chứng minh rằng \( a \cdot b \cdot (a^2 - 1) \cdot (b^2 + 2) \) chia hết cho 9 với mọi số nguyên dương \( a \) và \( b \), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của số nguyên dương và lí thuyết về chia hết.

Bước 1: Phân tích từng thành phần trong biểu thức.

- \( a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) \). Chúng ta nhận thấy rằng trong \( (a - 1)(a + 1) \), giữa hai số \( a - 1 \) và \( a + 1 \) sẽ luôn có một số chia hết cho 2. Và một trong hai số này, nếu \( a \) là số nguyên dương, sẽ phải có một trong hai trường hợp:
- Nếu \( a \equiv 0 \) (mod 3), thì \( a^2 - 1 \equiv 0 - 1 \equiv 2 \) (mod 3).
- Nếu \( a \equiv 1 \) (mod 3), thì \( a^2 - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \) (mod 3).
- Nếu \( a \equiv 2 \) (mod 3), thì \( a^2 - 1 \equiv 4 - 1 \equiv 3 \equiv 0 \) (mod 3).

Vậy, bản thân \( a^2 - 1 \) luôn chia hết cho 3.

Bước 2: Phân tích \( b^2 + 2 \).

- \( b^2 + 2 \) sẽ cần phải xét cho từng trường hợp của \( b \) mod 3:
- Nếu \( b \equiv 0 \) (mod 3), thì \( b^2 + 2 \equiv 0 + 2 \equiv 2 \) (mod 3).
- Nếu \( b \equiv 1 \) (mod 3), thì \( b^2 + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \) (mod 3).
- Nếu \( b \equiv 2 \) (mod 3), thì \( b^2 + 2 \equiv 4 + 2 \equiv 6 \equiv 0 \) (mod 3).

Vậy, \( b^2 + 2 \) cũng luôn chia hết cho 3 khi \( b \equiv 1 \) hoặc \( b \equiv 2 \) (mod 3).

Bước 3: Kết hợp các kết quả.

Chúng ta có được:
- \( a^2 - 1 \) chia hết cho 3.
- \( b^2 + 2 \) thường cũng chia hết cho 3 cho các giá trị nhất định của \( b \).

Do đó, sản phẩm \( a \cdot b \cdot (a^2 - 1) \cdot (b^2 + 2) \) sẽ bao gồm ít nhất hai yếu tố chia hết cho 3:

1. Nếu \( a \) hoặc \( b \) chia hết cho 3, sản phẩm sẽ chia hết cho 3.
2. Nếu \( a \) chia hết cho 3 hoặc \( b \) chia hết cho 3, sản phẩm sẽ chia hết cho 9 do một trong hai yếu tố trong thành phần \( (a^2 - 1) \) hoặc \( (b^2 + 2) \) cũng chia hết cho 3.

Kết luận:
Vì vậy với mọi số nguyên dương \( a \) và \( b \), thì \( a \cdot b \cdot (a^2 - 1) \cdot (b^2 + 2) \) chắn chắn chia hết cho 9.