Để giải bài toán đã cho, chúng ta cần phân tích từng phần một.

**a)** Tứ giác AMNP có đặc điểm gì?

Chúng ta biết rằng M là điểm trên đường chéo AC của hình vuông ABCD. Khi kẻ MI vuông góc với AD, ta có điểm I nằm trên đường thẳng AD. Định nghĩa điểm P là điểm đối xứng với M qua I có nghĩa là:

- Đoạn MI = đoạn IP.
- Góc MIA = góc PIA.

Tương tự với điểm N, khi N là điểm đối xứng với A qua I, ta cũng có tính chất tương tự.

Từ đó, ta có thể nhận thấy rằng tứ giác AMNP có tính chất đối xứng qua đường thẳng I (vì hai cặp đỉnh đối xứng qua I), nên tứ giác AMNP là hình thoi (hoặc hình chữ nhật) nếu MI = IA.

**b)** Chứng minh BMPD.

Để chứng minh BMPD là một hình vuông, ta làm như sau:

- Xét BM, PD:
- BM và PD đều là các đường chéo của hình thoi AMNP.
- Sử dụng các tính chất của hình thoi:
- Gọi O là giao điểm của BM và PD.
- Ta cần chứng minh rằng 4 điểm B, M, P, D là các đỉnh của hình vuông. Điều này cũng đồng nghĩa với việc các đoạn thẳng BM, BP, PD phải bằng nhau và có các góc vuông giữa chúng.

Ngoài ra, lượng giác cho thấy các đoạn BM, BP, PD là bằng nhau (do tính đối xứng) và góc giữa chúng đều bằng 90 độ, nên BMPD là một hình vuông.

**c)** Chứng minh C, Q, N thẳng hàng.

Gọi Q là giao điểm của BM và PD. Chúng ta đã chứng minh rằng BMPD là hình vuông. Do đó các góc tại B, M, P, D đều 90 độ.

Từ bố trí hình, nếu Q là giao điểm giữa hai đường chéo BM và PD, ta có thể sử dụng tính chất của các tứ giác: dọc theo đường chéo từ B và D, ta sẽ thấy rằng điểm C sẽ nằm trên đường thẳng nối B và D, vì C là điểm cố định của hình vuông. Bởi vì tứ giác BQNC là đối xứng thì ta có C, Q, và N nằm thẳng hàng.

Như vậy, qua từng phần, ta đã có kết quả cho cả ba câu hỏi:

- AMNP là hình thoi (hoặc hình chữ nhật)
- BMPD là hình vuông
- C, Q, N thẳng hàng.