Tìm tất cả cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 5x^2 + y^2 - 4xy + 2x + 2y + 9 = 0

Chúng ta cần giải phương trình bậc hai trong hai biến:

\[ 5x^2 + y^2 - 4xy + 2x + 2y + 9 = 0. \]

Để giải phương trình này, ta có thể viết lại dưới dạng một phương trình bậc hai theo y:

\[ y^2 - (4x + 2)y + (5x^2 + 2x + 9) = 0. \]

Phương trình này có dạng chuẩn \( Ay^2 + By + C = 0 \), với:

- \( A = 1 \)
- \( B = -(4x + 2) \)
- \( C = 5x^2 + 2x + 9 \)

Để phương trình này có nghiệm \( y \), thì delta phải không âm:

\[
\Delta = B^2 - 4AC \geq 0.
\]

Tính delta:

\[
\Delta = (4x + 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5x^2 + 2x + 9).
\]

Giải phương trình này:

\[
\Delta = (16x^2 + 16x + 4) - (20x^2 + 8x + 36).
\]

\[
\Delta = 16x^2 + 16x + 4 - 20x^2 - 8x - 36.
\]

\[
\Delta = -4x^2 + 8x - 32.
\]

Ta cần giải bất phương trình:

\[
-4x^2 + 8x - 32 \geq 0.
\]

Chia cả hai vế cho -4 (chuyển dấu):

\[
x^2 - 2x + 8 \leq 0.
\]

Tính delta của bất phương trình này:

\[
\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28.
\]

Vì delta âm, phương trình bậc hai này không có nghiệm. Điều này có nghĩa là bất phương trình \( x^2 - 2x + 8 \leq 0 \) luôn sai.

Do đó, phương trình ban đầu không có cặp số nguyên nào \( (x, y) \) thỏa mãn.

Kết luận: Không có cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình \( 5x^2 + y^2 - 4xy + 2x + 2y + 9 = 0 \).