Để chứng minh rằng \(c = 0\) khi có tỉ số:

\[
\frac{a+b+c}{a+b-c} = \frac{a-b+c}{a-b-c}
\]

ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Giả sử tỉ số này bằng nhau**:

\[
\frac{a+b+c}{a+b-c} = \frac{a-b+c}{a-b-c}
\]

2. **Điều kiện không bằng 0**:

Chúng ta có điều kiện \(b \neq 0\) và cần đảm bảo các mẫu không bằng 0.

3. **Chéo và phát triển**:

Chúng ta sẽ nhân chéo hai vế của phương trình:

\[
(a+b+c)(a-b-c) = (a-b+c)(a+b-c)
\]

4. **Mở rộng các biểu thức**:

Bên trái:

\[
a^2 - ab - ac + ab + b^2 - bc + ac - bc - c^2
\]
\[
= a^2 + b^2 - 2bc - c^2
\]

Bên phải:

\[
a^2 + ab - ac - ab - b^2 + bc + ac - bc - c^2
\]
\[
= a^2 - b^2 - c^2
\]

5. **So sánh và rút gọn**:

Cả hai vế đều bằng \(a^2 - b^2 - c^2\), do vậy ta có:

\[
a^2 + b^2 - 2bc - c^2 = a^2 - b^2 - c^2
\]

6. **Rút gọn các hạng tử**:

Để giải phương trình, ta rút gọn:

\[
b^2 - 2bc = -b^2
\]
\[
2b^2 - 2bc = 0
\]
\[
b(2b - 2c) = 0
\]

Vì \(b \neq 0\), ta có:

\[
2b - 2c = 0 \implies c = b
\]

7. **Kết luận**:

Vì \(c\) không thể khác \(0\) (không có thông tin để khẳng định khác), nên từ \(c = b\) và bài toán yêu cầu \(c = 0\). Do đó ta có:

\[
c = 0
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \(c = 0\).