Để phân tích đa thức \( P(x, y) = x^2y + xy + x + 1 \) thành nhân tử, chúng ta có thể nhóm các hạng tử lại với nhau và tìm cách phân tích.

Bước 1: Nhóm các hạng tử
Chúng ta có thể nhóm hai hạng tử đầu tiên và hai hạng tử cuối cùng:

\[
P(x, y) = (x^2y + xy) + (x + 1)
\]

Bước 2: Tính toán từng nhóm
Trong nhóm đầu tiên \( x^2y + xy \), chúng ta có thể khai thác \( xy \):

\[
x^2y + xy = xy(x + 1)
\]

Nhóm thứ hai \( x + 1 \) là không thay đổi.

Bước 3: Tham gia các yếu tố đã nhóm lại
Bây giờ chúng ta có:

\[
P(x, y) = xy(x + 1) + (x + 1)
\]

Bước 4: Tách nhân tử chung
Chúng ta nhận thấy rằng \( (x + 1) \) là một yếu tố chung. Do đó, chúng ta có thể viết lại như sau:

\[
P(x, y) = (x + 1)(xy + 1)
\]

Vậy, đa thức \( x^2y + xy + x + 1 \) có thể được phân tích thành nhân tử là:

\[
\boxed{(x + 1)(xy + 1)}
\]