Gọi chiều dài của sợi dây thứ hai là \( x \) mét. Khi đó, chiều dài của sợi dây thứ nhất sẽ là \( x + 5.4 \) mét.

Sau khi cắt đi 120 cm (hay 1.2 m), chiều dài của từng sợi sẽ trở thành:
- Sợi thứ hai: \( x - 1.2 \)
- Sợi thứ nhất: \( x + 5.4 - 1.2 = x + 4.2 \)

Theo đề bài, phần còn lại của sợi thứ nhất gấp 4 lần phần còn lại của sợi thứ hai. Ta có phương trình:

\[
x + 4.2 = 4(x - 1.2)
\]

Giải phương trình này:

1. Mở rộng vế phải:
\[
x + 4.2 = 4x - 4.8
\]

2. Chuyển hết về một vế:
\[
4.2 + 4.8 = 4x - x
\]
\[
9 = 3x
\]
\[
x = 3
\]

Vậy chiều dài của sợi dây thứ hai là \( 3 \) m.

Chiều dài của sợi dây thứ nhất là:
\[
3 + 5.4 = 8.4 \text{ m}
\]

**Kết quả:**
- Chiều dài sợi dây thứ nhất: 8.4 m
- Chiều dài sợi dây thứ hai: 3 m