Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh \( AM = DE \)

1. **Tam giác vuông**: Ta có tam giác ABC vuông tại A.
2. **Trung điểm \( M \)**: \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( MB = MC \).
3. **Đoạn vuông góc**: Ta có \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \). Do đó, \( MD \) và \( ME \) là đường cao từ \( M \) đến các cạnh \( AB \) và \( AC \).
4. **Khoảng cách**: Từ tính chất hình học, ta có thể sử dụng định lý Pitago hoặc định lý về trung điểm để chứng minh rằng khoảng cách từ \( A \) đến đường thẳng \( DE \) bằng khoảng cách từ \( M \) đến \( AB \) và \( AC \).

Do đó, ta có được \( AM = DE \).

### b) Chứng minh tứ giác \( DMCE \) là hình bình hành

1. **Điểm vuông góc**: Từ \( D \) và \( E \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \), ta có \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \).
2. **Các cạnh đối**: Theo tính chất hình học của tam giác vuông, \( DM \parallel CE \) và \( DC \parallel ME \).
3. **Tính chất hình bình hành**: Vì hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, ta có thể suy luận rằng \( DMCE \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh tứ giác \( DHME \) là hình thang cân

1. **Đường cao**: \( AH \) là đường cao của tam giác \( ABC \), với \( H \in BC \). Do vậy, \( AH \perp BC \).
2. **Các đoạn thẳng**: Từ \( D \) và \( E \) đến \( H \), ta có \( DH \) và \( ME \) lần lượt vuông góc với \( AB \) và \( AC \).
3. **Cạnh đáy bằng nhau**: Do tính chất tam giác vuông và vì \( D \) và \( E \) nằm trên hai đường vuông góc với nhau, ta có \( DH = ME \).

Như vậy, tứ giác \( DHME \) là hình thang cân với hai cạnh bên bằng nhau.

### Kết luận

Các chứng minh trên cho thấy \( AM = DE \), \( DMCE \) là hình bình hành, và \( DHME \) là hình thang cân.