Để chứng minh rằng \( A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{100^2} < 1 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức so sánh.

Ta biết rằng đối với mọi \( n \geq 2 \):
\[
\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)}.
\]
Chúng ta sẽ chứng minh điều này bằng cách thực hiện phép cộng từ 2 đến 100 và sử dụng bất đẳng thức:

\[
A = \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^2} < \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n(n-1)}.
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính tổng bên phải:
\[
\sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n(n-1)} = \sum_{n=2}^{100} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right).
\]
Sử dụng tính chất riêng của tổng, ta có:
\[
\sum_{n=2}^{100} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) = \left( 1 - \frac{1}{100} \right) = \frac{99}{100}.
\]

Vậy chúng ta có:
\[
A < \frac{99}{100}.
\]

Điều này cho thấy rằng:
\[
A < 1.
\]

Kết luận:
\[
\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{100^2} < 1.
\]