Để giải bài toán này, ta sử dụng một số kiến thức hình học liên quan đến tiếp tuyến và đường tròn.

1. **Sử dụng định lý tiếp tuyến:**
- Độ dài tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn đến đường tròn có thể tính bằng công thức:
\[
MA^2 = OM^2 - OA^2
\]
- Ở đây, ta biết rằng \( MA = 8 \) cm (độ dài tiếp tuyến từ M đến điểm A) và \( MK = 4 \) cm (đoạn thẳng từ M đến K).

2. **Tính độ dài OM:**
- Đoạn thẳng \( OK \) là bán kính của đường tròn tại điểm K. Vì OA cắt đường tròn tại K, ta có:
\[
OA = OK + KA
\]
- Với \( OK = r \) và \( KA = r \) (vì K là điểm trên đường tròn nên OA = OK + KA = r + r = 2r).
- Áp dụng Pythagore cho tam giác OMA, ta có:
\[
OM^2 = OA^2 + MA^2
\]
\[
OM^2 = (2r)^2 + 8^2
\]
\[
OM^2 = 4r^2 + 64
\]

3. **Tính đoạn MK:**
- Ta có:
\[
MK = OM - OK
\]
- Với \( OK = r \):
\[
MK = OM - r
\]
- Theo như đề bài: \( MK = 4 \, \text{cm} \):
\[
OM - r = 4
\]
\[
OM = r + 4
\]

4. **Thay thế OM vào phương trình:**
- Thay \( OM \) vào công thức Pythagore trước:
\[
(r + 4)^2 = 4r^2 + 64
\]
- Giải phương trình này:
\[
r^2 + 8r + 16 = 4r^2 + 64
\]
\[
0 = 3r^2 + 56 - 8r
\]
\[
3r^2 - 8r + 48 = 0
\]

5. **Giải phương trình bậc 2:**
- Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
- Với \( a = 3, b = -8, c = -48 \):
\[
b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 3 \times (-48) = 64 + 576 = 640
\]
\[
r = \frac{8 \pm \sqrt{640}}{6}
\]
tính \( \sqrt{640} = 8\sqrt{10} \) nên:
\[
r = \frac{8 \pm 8\sqrt{10}}{6} = \frac{4(1 \pm \sqrt{10})}{3}
\]

6. **Tính chiều dài cạnh OM:**
- Ta đã tìm được OM:
\[
OM = r + 4
\]
- Khi tính được bán kính \( r \), ta có thể tìm được \( OM = \frac{4(1+\sqrt{10})}{3} + 4 \).

**Tổng kết:**
Bán kính \( r \) được tính như trên và chiều dài cạnh \( OM \) sẽ tùy vào giá trị cụ thể của \( r \).