Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### phần a: Chứng minh ΔABC ~ ΔHBA và AB·AH = AC·HB

1. **Chứng minh ΔABC ~ ΔHBA**:
- Cả hai tam giác ΔABC và ΔHBA đều có góc A chung (góc vuông tại A).
- Ta có: góc ABC = góc HBA (góc phụ).
- Theo định lý hai tam giác vuông có hai góc tương ứng bằng nhau thì sẽ giống nhau (hình giống nhau theo hình học).

2. **Chứng minh AB·AH = AC·HB**:
- Theo định lý tang (tỉ lệ các cạnh trong tam giác):
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{HB}
\]
- Từ đó,
\[
AB \cdot HB = AC \cdot AH
\]
=> Từ đó, ta có AB·AH = AC·HB.

### phần b: Chứng minh AH² = BH·CH

Để chứng minh AH² = BH·CH, bạn có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác HBA.

- Trong ΔHBA, áp dụng định lý Pythagore:
\[
AB^2 = AH^2 + HB^2
\]
- Trong ΔAHC, cũng có:
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]

Khi đó, ta có thể sử dụng các tỉ số từ các tam giác đã chứng minh ở phần a để đưa ra tỉ lệ giữa BH và CH một cách thích hợp.

### phần c: Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh: \(\frac{1}{4}CH \cdot CB = MN^2\)

1. **Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC**.
2. Để chứng minh \(\frac{1}{4}CH \cdot CB = MN^2\), ta có thể cắt tam giác ABC thành các tam giác nhỏ hơn và áp dụng kết quả của các tam giác vuông đã thiết lập trước đó.

Như vậy, bằng cách sử dụng định lý Pythagore và các tỉ lệ, bạn có thể hoàn thành bài toán này.