Để chứng minh ba điểm \(D\), \(A\), \(E\) thẳng hàng trong tam giác \(ABC\) với các đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\), ta làm như sau:

1. **Giả thiết:**
- \(BM\) là trung tuyến từ \(B\) đến trung điểm \(M\) của đoạn \(AC\).
- \(CN\) là trung tuyến từ \(C\) đến trung điểm \(N\) của đoạn \(AB\).
- \(D\) nằm trên tia đối của \(MB\) sao cho \(MD = MB\).
- \(E\) nằm trên tia đối của \(NC\) sao cho \(NE = NC\).

2. **Tính chất của các điểm:**
- \(M\) và \(N\) là trung điểm, do đó \(AM = MC\) và \(AN = NB\).
- Vì \(D\) và \(E\) được lấy bằng cách kéo dài các đoạn thẳng \(MB\) và \(NC\) với cùng độ dài thì ta có:
- \(\vec{MD} = -\vec{MB}\)
- \(\vec{NE} = -\vec{NC}\)

3. **Sử dụng hệ tọa độ:**
- Gọi tọa độ các điểm như sau:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(b_1, b_2)\)
- \(C(c_1, c_2)\)
- Tọa độ trung điểm \(M\) và \(N\) là:
- \(M\left(\frac{0 + c_1}{2}, \frac{0 + c_2}{2}\right)\)
- \(N\left(\frac{b_1 + 0}{2}, \frac{b_2 + 0}{2}\right)\)

4. **Tính tọa độ của điểm \(D\) và \(E\):**
- Tọa độ của \(D\) sẽ nằm trên đường thẳng qua \(B\) và \(M\) với cùng độ dài, do đó bạn sẽ có một tỷ lệ nhất định với điểm \(B\).
- Tương tự, tính tọa độ của \(E\).

5. **Chứng minh collinearity:**
- Sử dụng định lý về độ dốc của ba điểm: nếu độ dốc của điểm \(D\), \(A\) và \(E\) bằng nhau, thì ba điểm này là thẳng hàng.
- Cụ thể, tính độ dốc giữa các cặp điểm, và nếu chúng bằng nhau, thì \(D\), \(A\), và \(E\) thẳng hàng.

6. **Kết luận:**
- Dựa vào các tính chất và công thức trên, ta chứng minh được rằng \(D\), \(A\), \(E\) thẳng hàng.

Điều này hoàn tất chứng minh.